背の高い人が全身を見るには、その人と同じ高さの鏡が必要でしょうか。平らな鏡を垂直に立て、まっすぐ立った人の頭頂から足先までを見るなら、必要な鏡の高さは身長の半分です。ただし「半分の長さの鏡を、どこに置いてもよい」という意味ではありません。目の高さによって、鏡の上端と下端を取り付ける位置が決まります。
中学入試では、鏡の長さを正しく答えても、床からの高さを取り違えることがあります。先に覚えた数字を書かず、足先から出て目に届く光、頭頂から出て目に届く光を一本ずつ描いてください。この二本が鏡に当たる場所を挟めば、間にある体の部分も見えると考えられます。
目と像を結ぶ直線で、必要な範囲を探す
鏡の向こうに、自分と鏡との距離だけ離れた像を描きます。像の足先と本物の目を直線で結び、その線と鏡が交わる場所を探します。そこが、足先を見るために使う反射点です。実際の光は鏡の裏側を通りません。像を使う線は、反射する場所を見つけるための補助線です。
人と像は鏡から等しい距離にあるので、鏡はその直線の横方向のちょうど中間に位置します。そのため、足先の高さを0とすると、反射点の高さは目の高さの半分です。頭頂についても同様に、目と頭頂の高さの中間が必要な鏡の上端になります。二つの中間点の差が、身長の半分になるわけです。
例題1｜鏡の上下端は床から何cm？
身長160cm、床から目までの高さ150cmの人が、垂直な平面鏡で全身を見ます。人の頭頂・目・足先は、横から見て同じ鉛直線上にあるものとします。必要な鏡の下端、上端の床からの高さと、鏡の最小の高さを求めてください。
答え・解説： 足先を見る反射点は150÷2＝75cm。頭頂を見る反射点は（150＋160）÷2＝155cmです。したがって、下端75cmから上端155cmまでを覆う鏡が必要で、鏡の最小の高さは155−75＝80cmです。身長160cmの半分とも一致します。
「目の高さの半分だから75cm」とだけ答えると、鏡の長さと取り付け位置が混ざっています。75cmは床と鏡の下端の間の長さです。鏡そのものは、その上に80cmあります。図に床、下端、上端の三本の横線を引き、それぞれの間へ数字を書き込むと、何を求めたかがはっきりします。
離れれば、小さな鏡でも全身が見える？
この条件では、鏡から遠ざかっても必要な鏡の高さは変わりません。目から像までの横の距離は大きくなりますが、鏡はいつも横方向の中間にあります。足先と目、頭頂と目の高さは変わらないため、二つの反射点の高さも変わらないのです。
遠くの物が小さく見える経験から、遠ざかればよいと考えたくなります。しかし、自分が鏡から離れると像も鏡から離れます。鏡の向こうに固定された写真をのぞく場面とは違います。人だけを後ろへ動かし、像を元の場所へ残した図では、鏡の問題を別の条件に変えてしまいます。
例題2｜身長が同じでも、鏡の位置は同じ？
身長160cmで目の高さが140cmの人が、下端75cm、上端155cmにある鏡を使います。例題1と同じ理想化した姿勢と鏡の条件です。この人は全身を見られますか。鏡の長さを変えずに全身を映すには、鏡をどちらへ何cm動かせばよいですか。
答え・解説： 必要な下端は140÷2＝70cm、上端は（140＋160）÷2＝150cmです。今の鏡は75cmより下にないため、足先を見るための70cmの反射点が使えません。鏡全体を5cm下げ、70〜150cmの範囲にすれば全身が映ります。必要な長さは150−70＝80cmのままです。
上に余った5cmが、下に不足する5cmの代わりになるわけではありません。鏡の面積の合計より、必要な光が通る場所を覆っているかが大切です。この見方は、鏡の一部を紙で隠す問題にもつながります。隠した場所を通る光がどこから来るかを逆にたどれば、見えなくなる部分を判断できます。
計算を使える姿勢か、最後に確かめる
ここで扱ったのは横から見た高さの問題です。体の幅を映すための横幅、鏡の枠、頭や足が前後へ出る実際の姿勢は計算に入れていません。また、鏡を傾けたり、腰を曲げて目の位置を変えたりすれば、同じ高さの中間という求め方をそのまま当てはめられません。
解き直しでは「身長の半分」を言えるだけで終えず、足先から反射点を通って目へ向かう線を一本描いてみましょう。鏡の面の垂線を基準にして入射角と反射角が等しくなっていれば、暗記した答えを図から確かめられます。最小の長さと設置位置を、別々の答えとして持つことがこの問題の要点です。
関連する記事でつなぐ
鏡の面と30度なら、反射角も30度？｜入射角はどの線から測るのか