中学受験理科｜親元素と娘元素の比で年代を読む｜半減期の出発量を戻す

放射性の親元素が別の元素へ変わり、娘元素が増えていく模型を考えます。親が四分の一残れば半減期が二回過ぎたと分かりますが、初めの量が書かれていない場合はどうするのでしょうか。条件がそろえば、今ある親と、そこからできた娘を足して、初めの親の数に戻せます。

原子の数を保存する模型

今回の設定では、親原子一個が変化すると娘原子一個になり、娘はその後変化しないものとします。初めには娘がなく、外から親も娘も入らず、外へも出ない閉じた系です。この条件なら、現在の親の数と娘の数の合計が、初めの親の数になります。

実際の放射性変化では途中に複数の段階がある場合もあり、原子の種類や質量も変わります。本稿では原子の個数に対応する量を与え、単純な一対一の模型として計算します。親の重さと娘の重さを、条件なしに足せば同じ式が使えるという説明ではありません。

娘が三倍なら、親は四分の一

親と娘の比が一対三なら、全体は四つ分で、親はそのうち一つ分です。親が三分の一残ったのではありません。分母は娘だけではなく、親と娘を合わせた四つ分です。残存割合は親÷（親＋娘）で求めます。

半減期を一回過ぎると親は二分の一、二回なら四分の一、三回なら八分の一です。それぞれの親と娘の比は、一対一、一対三、一対七になります。娘の側が一、三、七と増えるのは、初めの全体から残った親を引いているためです。親の割合を作ってから、半分にした回数を数えましょう。

例題1。丸一つは多数の原子に対応する模型。閉鎖系、初期娘ゼロ、一対一変化の条件です。

「初めに娘がない」が外れたら

測定された娘元素の中に、親の変化でできたものではなく、初めから存在した分が含まれている場合があります。その分まで親からできたものとして足すと、初めの親を多く見積もり、残存割合を小さくしてしまいます。問題で初期の娘の量が与えられたら、まずそこを差し引きます。

ただし、その差し引きができるのも、娘の流入や流出がなく、指定した初期量が今まで残っている条件の下です。実際の年代測定では、適した鉱物や同位体の組合せ、閉鎖系の成立などを検討します。「岩石の元素を測れば必ず一つの正確な年代が出る」と単純化しないようにしましょう。

例題1　比から半減期の回数へ

ある模型の元素の半減期は二百万年です。現在の親と娘の原子数比が一対七でした。初めの娘はゼロで、親一個から娘一個ができ、出入りがないとします。変化が始まってから何年ですか。

答え・解説： 親は全体八つ分のうち一つで、八分の一です。半分、四分の一、八分の一と三回半減したので、二百万×三＝六百万年です。一対七の七をそのまま半減期の回数にしないことがポイントです。図では全体八個分を一定にし、親の残りと娘の増加を対にしています。

例題2　初めの娘を除く

別の試料で、現在の親に対応する数が二十、娘が八十と測られました。娘のうち二十は初めから存在した分で、その後の出入りはありません。半減期が五百万年なら、経過時間はいくらですか。

答え・解説： 親から新しくできた娘は八十－二十＝六十です。初めの親は二十＋六十＝八十なので、親の残存割合は二十÷八十＝四分の一です。半減期二回分で、一千万年です。測定された娘八十をそのまま足すと親が五分の一となり、与えた条件を無視してしまいます。

測った年代が、何の出来事かを考える

岩石に含まれる鉱物の年代が分かっても、それが目の前の地層の堆積した時期と必ず同じとは限りません。古い岩石の粒が運ばれて新しい地層に入る場合などがあるからです。測定値がどの物質の、どの状態が始まった時点を示すのかを、地層の図や説明と結び付けます。

半減期は「決まった年数で全部なくなる期限」でもありません。残った親の半分ずつが変化する規則なので、二回過ぎてもゼロではありません。原子数が非常に少ない場合の個々の変化は確率的ですが、本稿は多数の原子を平均的な割合で扱っています。表の八分の一という値を、原子一個が八分の一に切れる意味にしないことも確認しておきましょう。

比の書き方が逆なら読み直す

表の列が「娘：親」の順に並ぶ場合もあります。七対一という数字を見て、親が七つ分と読めば全く違う残存割合になります。比を計算する前に、親の欄を丸で囲み、親と娘を合わせた分母を作るようにしましょう。比率だけでなく具体的な個数が出ていても手順は同じです。また、試料が大きく両方の原子数が二倍になっても比は変わらないので、この模型で求める年代も同じです。年代は岩石片の大きさで決まるものではありません。

地層の年代を火山灰などの目印で挟む問題では、上側と下側の年代から範囲を答える場合があります。その途中の地層について、二つの年代の単純平均が正しい年代だと決めるには、堆積速度など追加の仮定が必要です。放射性変化の計算で一つの試料の年代を得ることと、周囲の地層へ年代を割り当てることは、異なる推論です。元素の比から出した数値を地層の図へ戻すときも、どの試料に対応する値かを矢印で結んで確認します。