中学受験理科｜同位体の平均の重さ｜個数の割合と重さの割合を分ける

同じ元素にも、重さの違う原子があることを資料で知ったとします。その平均の重さが三十五・五と書いてあれば、一個の原子を量ると三十五・五になるのでしょうか。平均は集団についての値であり、一個ずつの値がその平均と同じである必要はありません。

同位体は、同じ元素で陽子の数が同じでも、中性子の数が異なる原子です。本稿は原子の細かな質量の計算ではなく、重さを指定した二種類の模型粒子について、個数の割合から平均を求める練習です。使う数は問題用の値で、特定元素の正確な同位体組成を示すものではありません。

一個あたりを求めるには個数を数える

軽い粒子Lの重さを三十五、重い粒子Hを三十七とします。Lが三個、Hが一個なら、重さの合計は三十五×三＋三十七＝百四十二です。四個で割ると平均は三十五・五になります。二種類あるから三十五と三十七を足して二で割る方法は、個数が等しい場合に限られます。

個数を百個の模型へ直すなら、L七十五個、H二十五個です。合計を百で割っても同じ平均になります。原子の個数が非常に多くても、比率をそろえた小さな模型で同じ計算ができる点に注目してください。

上の帯は個数、下の帯は質量を分母にする。各帯全体を100%として描いた。

平均がどちらへ近いかを先に見る

平均三十五・五は、三十五と三十七の間にあり、三十五へ近い値です。軽い方が多いという見通しが立ちます。計算結果が重い粒子の割合七十五％になったら、向きを取り違えた可能性があります。

重い粒子が一個増えて軽い粒子と入れ替わるごとに、合計は二だけ増えます。この差に注目すれば、方程式を使わずに割合を戻せます。全部軽い粒子だと仮定した重さと、実際の合計の違いを比べる考え方です。

例題1　平均から個数の割合へ

Lの重さは十、Hは十二です。百個の平均の重さが十・六でした。HとLはそれぞれ何個ですか。

答え・解説： 合計は千六十です。全部Lなら千なので六十多く、一個をHに替えると二増えます。六十÷二＝三十個がH、残り七十個がLです。個数の割合はH三〇％、L七〇％となります。平均を十と十二の間のどこに置くかを図で示すと、重い方が半分未満と確認できます。

例題2　個数割合と質量割合

例題1で、Hの粒子が全体の重さに占める割合を求めてください。小数第一位まで答えます。

答え・解説： Hの合計は十二×三十＝三百六十です。全体千六十に対して三百六十÷千六十×百＝約三十四・〇％です。個数の三〇％とは違います。重い粒子ほど一個が多くの重さを担うため、質量割合の方が大きくなります。

同じ平均でも混ざり方が決まるとは限らない

二種類の値が既知なら平均から割合を一つに決められる場合があります。しかし、三種類以上がある、別の粒子も混じる、という条件では平均だけで内訳が決まらないことがあります。表に二種類しか書かれていないことを、そのまま世界に二種類しかないという意味に広げないでください。

本稿の粒子は分けて数えられる模型ですが、実際の分析は装置の記録から組成を調べます。測定装置の高さの比を使う場合も、その高さが個数へ比例するという前提を確認します。単なる絵の丸の大きさや棒の色から、重さを推測してはいけません。

答案では「Hは三〇％」で終えず、個数についてか重さについてかを書きます。一個あたりの平均、粒子の総個数、全体の重さを別々の欄にすると、同じ百分率という見た目に惑わされにくくなります。最後は平均が最小値と最大値の間にあることを確かめます。

個数の割合を先にそろえる

軽い粒子七個と重い粒子三個の模型を、七十個と三十個に拡大しても平均は同じです。合計の重さと個数が同じ倍率で増えるためです。一方、軽い粒子だけを七十個にして重い粒子を三個のままにすれば、割合が変わり平均も変わります。総数を変えたことと混合比を変えたことを分けて考えます。

図に十個の丸を描く場合、七個をL、三個をHとして色分けします。丸の面積は同じにして、一個ずつを表す図であると明示します。重いHを大きく描くと、その図の色の面積を個数割合と誤解するおそれがあります。質量割合を示す帯は、個数の丸とは別の図にする方が安全です。

平均が十・六という値から「十・六の粒が含まれている」とは結論できません。平均身長の人が集団に必ずいるとは限らないのと同様です。ただし、この比較例は計算の意味を説明するためであり、原子の質量が連続的に自由な値を取るという主張ではありません。模型が許す粒子の種類を、最初の表へ戻して確かめます。

読み取った値を説明するときの確認

平均が十・六なのに、十・六という質量の粒が実際に存在する必要はありません。十と十二の粒を多数集めたときの一個あたりの値です。平均点と同じように、個々の値と集団の平均を分けて読む必要があります。逆に、平均が十より小さい、または十二より大きいと出たなら、この二種類だけという条件では不可能なので、計算を見直せます。

粒の個数をすべて二倍にしても、平均質量は変わりません。分子の総質量と分母の総個数が同じ倍率で増えるためです。したがって割合を調べるために百個と仮定することは、実物が百個しかないという主張ではありません。割合を整数で扱いやすくするための置き方です。粒を追加する場合には、全種類を同じ倍率で増やすのか、一方だけ増やすのかを区別します。