最高気温が28℃、最低気温が12℃なら、平均気温は20℃でしょうか。必ずそうなるとは限りません。最高と最低は一日の両端の値ですが、途中でどの気温がどれだけ観測されたかまでは教えてくれないからです。平均の問題は、まず何個の記録を平均しているのかを確認します。
気象庁の国内観測地点の毎正時データと、世界の天候データの算出方法は同一ではありません。中学入試の表では「この四回の平均」「毎時の記録の平均」など、問題が指定した方法に従います。本稿の観測値は計算用の架空の記録です。
最高と最低が同じでも平均は変わる
六回の観測が10、10、10、10、30、30℃なら、合計100を6で割り、平均は約16.7℃です。一方、10、10、30、30、30、30℃なら、合計140を6で割って約23.3℃です。どちらも最高30℃、最低10℃ですが、平均は違います。
「最高と最低の真ん中」は、この二つの記録だけを平均する値です。観測回数が多い表の平均を、その真ん中へ置き換えることはできません。一日の変化を線で描いたとき、山の頂上と谷底だけを見て途中を捨てていることになります。
平均が最高より高い、または最低より低い答えなら、通常の算術平均の範囲から外れています。この範囲の確認は、計算の見直しに役立ちます。ただし範囲内なら必ず正解というわけではありません。
同じ値をまとめた表は、回数を掛け戻す
観測表を「12℃が6回、18℃が12回、24℃が6回」のように整理した場合、12、18、24を一回ずつ足すだけでは元の24個の記録を再現できません。各気温に、その気温が現れた回数を掛けてから合計します。
この表なら合計は12×6＋18×12＋24×6＝432。観測回数24で割り、平均18℃です。真ん中の気温と同じになったのは、この設定の回数が左右で対称だったためです。別の回数なら同じ結果になるとは限りません。
丸めた平均から戻した値には、幅が残ることがある
六回の平均が18℃と書かれていても、それが正確な18℃なのか、整数に四捨五入した18℃なのかで逆算の扱いが変わります。正確な値なら合計は108です。一方、四捨五入の表示なら、元の平均は17.5℃以上18.5℃未満の範囲にあり得ます。表示された桁だけで余分な精度を作らないようにします。
たとえば五回分の合計が90で、六回平均が整数表示18℃だった場合、六回分の合計は105以上111未満です。残る一回は15℃以上21℃未満となり、一つの値には絞れません。この計算は、測定値自体は丸めず、平均だけを四捨五入したという学習上の条件です。
『平均から合計へ戻す』という方法が間違いなのではありません。入力にした平均の情報が、正確な数なのか範囲なのかを確かめる必要があります。問題文に小数第何位までと指定があれば、どの段階で丸めるかも確認し、途中計算で何度も丸めて誤差を増やさないようにしましょう。
例題1：回数を含めた平均
毎時の24回の記録を整理すると、12℃が8回、18℃が10回、24℃が6回でした。この24回の平均気温を求めてください。
答え・解説：17.5℃です。 気温の合計は12×8＋18×10＋24×6＝96＋180＋144＝420。420÷24＝17.5℃となります。
三種類の気温を同じ回数として平均した18℃とは異なります。低い12℃の記録が高い24℃の記録より多いので、18℃より低くなることも説明できます。回数の合計8＋10＋6＝24も忘れずに確認します。
間隔の違う記録は、何の平均かを考える
朝の一時間だけ細かく測り、午後は一回しか測らなかった場合、そのまま全記録を平均すると朝の状態が多く反映されます。それは記録した値の平均ではあっても、一日を公平に表す平均とは限りません。
「各区間で気温が一定だった」と仮定して時間に応じた平均を出す模型なら、気温×継続時間を合計し、全時間で割れます。しかし数時刻の測定点しかないのに、その間もずっと一定だったと勝手に補うことはできません。
折れ線グラフで点の間を直線とみなす指定がある場合には別の整理が必要です。観測点だけの平均と、時間全体をならした平均の違いを、問題文の約束で読み分けます。
例題2：欠けた一回の記録を逆算する
同じ間隔で六回測った気温の平均は18℃でした。うち五回の記録は12、15、18、21、24℃です。残る一回の気温を求めてください。
答え・解説：18℃です。 六回分の合計は18×6＝108。分かっている五回の合計は12＋15＋18＋21＋24＝90なので、108−90＝18℃です。
欠けた記録を0℃として平均すると、存在しない観測値を入れることになります。今回は六回全体の正確な平均が与えられているので逆算できますが、丸められた平均しか分からない場合には、元の値を一意に決められないことがあります。
観測の精度と答えの桁をそろえる
平均を計算すると小数が出ます。問題文に「小数第一位まで」などの指定があるときは、途中の合計をなるべく丸めず、最後にまとめて処理します。各段階で丸めると、その小さなずれが合計へ積み重なる場合があります。
平均の低下を見て、すべての時刻の気温が下がったと断定することもできません。朝だけ低くなり昼は高くなったのかもしれません。平均は多くの記録を一つに要約する便利な値ですが、元の変化の様子をすべて残す値ではないのです。
計算前に、観測の回数、観測間隔、欠けた値の有無、平均の定義を確かめてください。気温という理科のデータを、平均という算数の道具で正しく読むための準備になります。