万華鏡をのぞくと、少しの色片から大きな模様が広がります。鏡の中で色片が分裂したのではなく、同じ物から出た光が鏡で繰り返し反射し、たくさんの像が見えています。「見えているまとまりの数」と「実物の数」を別々に数えると、角度の計算も整理しやすくなります。
一枚の鏡の像が、もう一枚にも映る
鏡一枚では、物体から来た光が反射して目に入り、鏡の向こう側に像があるように見えます。鏡を二枚向かい合わせると、一方で反射した光がもう一方でも反射できます。この繰り返しが、複数の像を作ります。光が鏡の裏側へ通り抜け、そこに実物を並べているわけではありません。
万華鏡には三枚の鏡を使うものなど、いろいろな作りがあります。ここでは、二枚の平面鏡が一つの線で接し、その間の角度を変えられる模型を考えます。ウィスコンシン大学の物理博物館でも、45度に置いた二枚の鏡による八回の繰り返しを紹介しています。模型の作りを決めてから数えることが重要です。
鏡の間の一つの区画を、反射によって隣へ折り返していくと、一周360度を同じ角度の区画で埋める図になります。45度なら八区画、60度なら六区画です。ただし、鏡の大きさ、見る位置、物体の位置によって像が重なったり隠れたりするので、机上の区画数と実物で見える数が無条件に一致するとはしません。
「実物を含めて」と「像だけ」の一語を読む
一つの区画に印が一個あるとし、全区画が欠けずに見え、像の重なりもない理想的な図を考えます。60度の配置では六区画に同じ印が見えます。この六個のうち一個は実物で、残り五個が像です。六をそのまま「鏡像の数」と答えると、一個多くなります。
色片が区画の境界に触れたり、中心に置かれたりすると、隣の像と一体に見えることもあります。数え方を練習するときは、区画の内側に小さな印を置き、境界から離すとよいでしょう。図の上で実物だけ色を変えておくと、「360÷角度」の計算結果に何が含まれているかを確かめられます。
例題1：六区画に見える印の内訳
二枚の鏡の間を60度とし、その内側に赤い小片を一個置きました。理想的な図では、一周に六区画ができ、どの区画にも赤い印が一個ずつ重ならずに見えています。実物と像を合わせた数、像だけの数を答えましょう。
答え・解説： 合計は360÷60＝6個、像だけなら6−1＝5個です。鏡の枚数が二枚だから像が二個、とは限りません。繰り返しの反射まで考えます。これは指定した理想配置での数であり、どの角度でも単純に同じ式で数えられると広げないでください。
模様の回転と、色片の移動も別
万華鏡の先端を回すと、色片が落ちたり重なったりして、一つの区画の中身が変わります。その変化が鏡によって繰り返されるため、全体の模様が大きく変わったように見えます。実物が十個増えたから模様が十個増えた、という一対一の変化ではありません。
左右の向きにも注目できます。隣り合う区画は鏡で折り返した関係なので、文字や非対称な印を置くと、ただ同じ向きに回転して並べたものとは違う見え方になります。形が対称な丸だけでは、この違いが分かりにくくなります。図で考えるなら、丸と三角をずらして置いた簡単な模様が役立ちます。
例題2：小片が二個、区画が八つ
今度は鏡の角度を45度にしました。一つの区画に赤と青の小片を一個ずつ置き、八区画すべてで両方が重ならず見えるものとします。見える印の合計と、そのうち像だけの数を求めましょう。
答え・解説： 一区画二個なので、2×8＝16個が見えます。実物は赤と青の二個ですから、像だけでは16−2＝14個です。「八区画だから像が八個」と、区画と小片を同じ単位にしないのがポイントです。実物を含むかどうかを先に書くと、引く数も自然に決まります。
たくさん見えるから物が増えた、とは限りません。万華鏡は、実物、光の反射、見えている像を三つに分けて考えるよい題材です。図を描くときも、この三つを同じ記号だけで済ませない工夫をしてみてください。
六区画の図を紙に描き、一つの区画だけに小さな矢印を入れてみるのも有効です。鏡の線を折り目と考えて隣へ写し、その次も折り返します。毎回同じ向きに矢印を描いてしまうと、模様は六回の回転コピーになり、反射の結果とは違ってきます。数の正答だけでなく、隣の印の向きまで説明できるかを確認してください。実物を示す印を残しておけば、像がどれか分からなくなったときも、最初の区画へ戻って考え直せます。
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