中学受験理科｜水を軟らかくする粒の交換容量｜通した水の量だけで比べない

水の硬度には、カルシウムやマグネシウムなどが関係します。これらを別のイオンと交換する樹脂を通して、水を軟らかくする方法があります。粒が水の中の成分を受け取る能力には限りがあるため、いつまでも同じ働きが続くわけではありません。何L通したかだけでなく、その水がどれだけの対象成分を運んできたかを数えます。

水そのものを減らす装置ではない

この装置は、水を蒸発させたり、すべての溶質を一度に取り除いたりするものではありません。樹脂側のイオンと、水中の対象イオンを交換します。したがって処理後の水を「何も溶けていない純水」と呼ぶのは誤りです。硬度が下がったことと、溶けている物質がすべて消えたことを分けましょう。

ここでは交換できる量を、共通の基準に換算したmgで与えます。実際のカルシウムそのもののmgと、硬度を表す換算mgを混ぜないためです。問題文に同じ基準で表すと書かれていれば、その数字を使って、1Lあたりの負荷と樹脂全体の受け取れる量を比較できます。

量は同じ基準へ換算した対象成分。交換できる容量と、水そのものの体積は区別する。

容量は貯金の残高のように減る

初めに樹脂が600mg分を受け取れるとします。1Lに20mg分の対象がある水を10L通せば、受け取った量は200mgで、残る容量は400mgです。次に1Lあたり40mgの水を通す場合、同じ10Lでも400mgを使います。水の量の記録だけでは、残りの容量を判断できません。

濃さが途中で変わる資料では、区間ごとに「水量×濃さ」を求め、合計してから容量と比べます。一日ごとの平均濃さを単純に平均すると、水量の多い日の影響を小さく見積もることがあります。毎日の荷物の重さを足すように、運ばれてきた成分の量へ戻すのが確実です。

例題1｜途中で水質が変わる

容量600mgの樹脂を使います。最初に20mg/Lの水を10L、続いて40mg/Lの水を通します。容量を使い切るまで、後半の水は何L処理できるでしょうか。容量が残っている間は対象を完全に交換できる模型です。

答え・解説：10Lです。 前半で20×10の200mg分を使い、残りは400mgです。後半は1Lにつき40mgなので400÷40で10Lになります。前半と後半を同じ水質として600÷20としないこと、後半の濃さだけで600÷40としないことがポイントです。処理済みの負荷を先に差し引きます。

例題2｜二種類の水を混ぜて通す

20mg/Lの水6Lと、50mg/Lの水4Lを混ぜました。対象成分の合計と混合後の濃さを求めてください。この水を未使用の容量640mgの樹脂へ、同じ組み合わせで繰り返し通すと、何回分を処理できますか。

答え・解説：合計320mg、濃さ32mg/Lで、二回分です。 前者は120mg、後者は200mgを運ぶため合計320mgです。水量10Lで割ると32mg/Lになります。640÷320で二回分です。20と50の単純平均35mg/Lではありません。量の多い薄い水の影響を、体積で重みづけしています。

出口に現れ始める時刻を読む

現実の装置では、容量を使い切った瞬間に出口の濃さがゼロから入口と同じ値へ跳ぶとは限りません。流れ方や接触時間によって、出口に対象成分が少しずつ現れます。資料に出口濃度の曲線があれば、指定された許容値を超える時刻を読まなければなりません。理想模型の全容量と、条件を満たして使える実用上の容量は区別します。

例えば出口が5mg/Lを超えたら交換をやめるという設定なら、入口濃度へ完全に戻る時刻まで使えるとはしません。閾値を変えれば処理できる水量の答えも変わります。曲線のどの高さを境界にするかが指定されているか、問題文に戻って確認しましょう。

使った樹脂を再生する操作では、交換していた成分を樹脂から外へ移します。捕まえた物質が消滅するわけではなく、別の排出液へ移動します。環境について考察する設問なら、入口と製品水だけでなく、再生に使う水や塩、排出先も視野に入れます。本稿の計算値を実際の飲用水の安全判定へ使うのではなく、与えられた成分の収支を読む練習として扱ってください。

一回の試験から翌日を予測する条件

昨日20Lの水を処理できた装置が、今日も20L使えるとは限りません。再生を行わなければ前日の負荷が容量から引かれた状態で始まります。再生済みなのか未使用なのかは、初めの条件として数字と同じくらい重要です。毎日ゼロから計算し直すのではなく、容量の残高を前日の終わりから受け継ぐ表にします。

また、流入量が毎分二倍になったとき、同じ総水量を短時間で通しても全く同じ処理になるとは限りません。接触時間が変わり、出口の濃さに影響する可能性があるためです。本稿の完全交換模型ではそうした速さの影響を除いています。実測の曲線がある設問では、容量だけでなく流量条件も対応させなければなりません。

単位mg/Lは一Lに含まれる量であって、一分あたりの量ではありません。毎分運ばれる成分を求めるには、さらにL/分を掛けます。この組み合わせを途中式に残せば、装置が何分使えるかという時間の問題にもつなげられます。水量・濃度・時間という三つの欄を混ぜずに扱うことが、初めての装置の資料を解く力になります。