中学受験理科｜気体を膜で分けると割合はどうなる？｜通過側と残る側の収支

膜を通る速さは、気体の種類によって異なることがあります。この違いを利用すると、混合気体から特定の成分が多い気体を得られます。ただし「通りやすい成分だけが通る」と決めると、量の計算が合わなくなります。通過する側にも残る側にも、両方の成分がある場合を、初めの量から追いましょう。

純度が高いことと量が多いこと

二種類の気体AとBが混ざっている模型を考えます。Aの方が膜を通りやすくても、一定時間でAが全部通過するとは限りません。またBが全く通らないとも限りません。問題でAは何％、Bは何％通ると与えられたら、それぞれの初期量へ別々に掛けます。混合気体全体へ同じ割合を掛けないようにします。

通過側のAの割合を高められても、取り出せたAの量が多いとは限りません。少量だけ取り出して高い割合になった場合と、多く回収したけれど他成分も多く混ざった場合があります。割合である純度と、初めのAのうち何割を回収したかを分けて表に書きます。

同じ温度・圧力へ換算した体積。Aは60％、Bは10％が通過する指定模型。

体積の条件をそろえる

気体の体積は温度と圧力によって変わります。膜の両側で圧力が違う実物の容器を、そのまま目盛りだけ足して比較できるわけではありません。以下では、すべての量を同じ温度・圧力に換算した体積として示します。気体は反応せず、外部への漏れもないとします。この条件なら成分ごとに体積の帳尻を合わせられます。

実用の気体分離膜でも、透過しやすさの違いが利用されます。ただし本稿の通過率は考え方を練習するための設定値です。実際の空気を同じ数値で処理できるという予測ではありません。膜の種類、温度、圧力、流量が変われば分離の結果も変化します。

例題1｜通過した気体の割合

Aが20L、Bが80Lあります。指定時間内にAの60％、Bの10％が膜を通りました。通過側の合計体積と、その中のAの割合を求めます。

答え・解説：通過側は20Lで、Aの割合は60％です。 Aは20×0.6で12L、Bは80×0.1で8L通ります。合計20Lに対するA12Lの割合は12÷20で0.6です。Aの通過率60％と、通過側でのAの割合60％が今回は同じ数字ですが、分母が違います。この一致を一般的な関係だと覚えてはいけません。

例題2｜残る側と回収率

例題1の後、残る側の体積とAの割合を求めます。また、通過側を製品として取り出すと、初めのAの何％を回収したことになりますか。

答え・解説：残る側は80L、Aの割合は10％、Aの回収率は60％です。 Aは20−12で8L、Bは80−8で72L残ります。残る80L中のA8Lは10％です。一方、製品へ移ったA12Lを初めのA20Lで割れば60％です。製品全体20Lをもとの混合気体100Lで割った20％は、混合気体全体の取り出した割合であり、Aの回収率ではありません。

二段目にはどちらを入れるか

膜を二段つなぐ図では、一段目の通過側を二段目へ入れるのか、残る側を入れるのかで結果が変わります。矢印を見ずに同じ計算を繰り返してはいけません。Aを濃くしたい場合の流れと、Bを濃くしたい場合の流れが違うこともあります。まず目的成分に色をつけ、どちらの出口で割合が増えたかを確かめます。

例えば通過側のA12L・B8Lを次の装置へ送るなら、二段目の開始量はその二つです。最初の20L・80Lへ再び割合を掛けるのではありません。装置の絵を省いて、AとBの二行、通過と残留の二列を作ると、途中でどちらの数字を持ち越すかが明確になります。

最後には、Aの通過量と残量が初めのAへ戻るか、Bについても同じことが成り立つか確認します。全体の体積だけを合わせると、Aを多く数え、Bを少なく数えた誤りが打ち消されて見えなくなることがあります。成分別に保存を確かめる方法は、気体の吸収や燃焼後の量を読む問題にもつながります。

同じ純度でも製品の量は違う

Aが60％の製品を10L得た場合、含まれるAは6Lです。例題1の製品20LもAは60％ですが、Aの量は12Lで二倍です。この比較から、濃い製品をつくれたという情報だけでは、目的成分をどれだけ利用できたかは分かりません。製品の純度と製品流量が両方与えられた表には、Aの量の列を自分で追加するとよいでしょう。

膜の通過側を集める時間を長くした場合も、最初と同じ組成がずっと続くとは限りません。残る側のAが先に減れば、その後に膜へ触れる混合気体は初めよりAの割合が低くなるからです。本稿の一段の通過率は指定された一回の操作に対する値であり、任意の長時間へ一定倍率で延長する規則ではありません。

出口を間違えた計算を見つけるには、Aが通りやすいという条件へ戻ります。例題の通過側が初めの20％よりAに乏しくなっていたら、途中の成分や分母を取り違えた可能性があります。もちろんこれはこの模型の設定に対する方向の確認であり、数値の検算を代わりにするものではありません。量の保存と割合が変わる向きの両方で答えを点検します。

膜の模式図では、境界を通り抜けた矢印と、境界の手前から外へ出る矢印に別の名前をつけます。出口が二つあるのに一つの容器だけを描くと、残った成分の行き先が消えてしまいます。受け取った製品だけでなく、もう一方の出口まで含めて一周する収支図を作ることが、分離の理解を確かめる方法になります。