水に浮かぶ板へおもりを載せると、板は前より深く沈みます。板の材質が変わったのではありません。板とおもりを合わせた重さを支えるため、押しのける水を増やしているのです。側面が垂直な直方体なら、追加で沈んだ部分の体積は「底面積×沈み増した深さ」で求められます。その水の重さが、追加したおもりの重さに対応します。
中学入試の図では、載せる前と後の水面の線が描かれます。まず板の下面から水面までを読み、どこまでが水中かを確かめましょう。「水面から上へ出た長さ」と「水中の長さ」を逆に使うと、後の計算がそろっていても答えが変わります。
板と荷物をまとめて囲む
何も載せていないとき、水は板の重さを支えます。おもりを載せた後は、板がおもりを支え、その両方を水が支えます。したがって、浮いて静止している条件では、板とおもりの合計の重さが、板が押しのけた水の重さに等しくなります。
ここでは水1cm³の重さを1gとし、板は水を吸わず、横に傾かず、容器の底や壁に触れないものとします。載せたおもり自体は水につかりません。板の上面まで水に沈んだ後は、同じ式を際限なく延長できないので、計算の途中で板の厚さも確認します。
例題1｜載せた重さから、水中の深さを求める
底面積200cm²、厚さ5cm、重さ400gの直方体の板を、広い水面へ水平に浮かべました。板の中央に300gのおもりを載せると、板の下面から水面までの深さは何cmになりますか。載せる前より何cm深く沈んだかも求めてください。
答え・解説： 最初は400cm³の水を押しのけるので、水中の深さは400÷200＝2cmです。おもりを載せると合計700gになり、必要な水中体積は700cm³。深さは700÷200＝3.5cmです。沈み増しは3.5−2＝1.5cmとなります。
追加分だけでも確かめられます。300gを支えるには300cm³の水を余分に押しのけるので、300÷200＝1.5cmです。求めた3.5cmは板の厚さ5cmより小さく、上面はまだ水面より1.5cm上にあります。「全部沈んでいない」という条件にも合っています。
300÷400を計算してしまった場合は、重さどうしの割合を求めたことになります。深さを出すためには体積を面積で割る必要があります。式の数字の下に「水の体積」「板の底面積」と書けば、どの値を使うかを自分で戻せます。
例題2｜上面が水面に達するまで、何g載せられる？
底面積150cm²、厚さ4cm、重さ240gの板を浮かべます。板の上面がちょうど水面に達するまでに載せられるおもりは何gですか。また、上面を水面より1cm上に残すなら、載せられるおもりは何gですか。板は傾かず、おもりは水につからないとします。
答え・解説： 上面まで沈んだ板の体積は150×4＝600cm³です。水が支えられる板と荷物の合計は600gなので、おもりは600−240＝360gです。上面を1cm出すなら、水中の深さは4−1＝3cm。合計450gを支えられるため、おもりは150×3−240＝210gになります。
600gをそのまま荷物の答えにしてはいけません。その600gの中に、板自身の240gが含まれています。船の積載量でも、浮力が受け持つ全体と新しく載せる荷物を分ける見方が必要です。表に「板」「荷物」「合計」の三列を作ると、引き忘れを防げます。
「あと何cm沈められるか」からも考えられる
例題2の板だけの水中の深さは240÷150＝1.6cmです。上面まで残り2.4cmなので、追加体積は150×2.4＝360cm³。これは先ほどの360gに一致します。全体から板の重さを引く方法と、追加で水中へ入る部分だけを計算する方法が、同じ結果を示しています。
ただし、この360gは条件を単純化した模型での境目です。実際の船には波や傾き、水の浸入への備えが必要なので、上面ぎりぎりまで載せてよいという安全基準にはなりません。入試の計算で成立する条件と、実際の船の運用は区別しておきます。
水面が上がる問題とは、基準が違う
板が水に対して深く沈む量と、水槽全体の水面が上がる量は同じではありません。前者には板の底面積、後者には水槽側の面積が関わります。板の側面に付けた目盛りを読むのか、水槽の壁の目盛りを読むのかで、問題の対象が変わるのです。二枚の図を重ねる前に、どこへ目盛りが付いているかを確認してください。