中学受験理科｜捕まえるたびに魚が減る調査｜取り除き法で最初の数を考える

池の魚を数えたいのに、一回の網ですべてを捕まえることはできません。捕まえた魚を池へ戻さずに別の場所で保ち、同じ方法で次の調査をすると、捕獲数は減ると予想されます。この減り方から最初の数を推定するのが、取り除き法の考え方です。標識をつけて戻す方法とは、調査の間に池に残る魚の数が違います。

毎回同じ数ではなく同じ割合

計算のため、各回に「その時点で池にいる魚の四分の一」を捕まえられると仮定します。初めに80匹なら一回目は20匹、残り60匹の二回目は15匹です。網を使う時間が同じでも、捕まえる数が同じになるという仮定ではありません。捕獲の割合が同じだという条件です。

一回目20匹から二回目15匹へ減った場合、二回目は一回目の四分の三です。同じ割合で捕まえるなら、捕まえる前に池へ残っていた数も四分の三になっています。したがって一回目には四分の一を取り除いたと読み取れます。ここで捕獲数の差5匹を「最初から残っていた魚の数」と取り違えないようにしましょう。

捕獲した魚を戻さない模型。残る魚が80→60→45匹なので捕獲は20→15匹になる。

例題1｜二回の捕獲数から逆算

一回目に20匹、二回目に15匹捕まえました。魚の出入り・出生・死亡はなく、捕まえた魚は戻しません。各回で捕まえられる割合が同じ模型なら、最初の魚は何匹ですか。

答え・解説：80匹です。 二回目の捕獲数は一回目の15÷20で四分の三です。残る割合が四分の三なら、取り除く割合は四分の一です。一回目の20匹が全体の四分の一に当たるので20×4で80匹です。検算すると初め80匹から20匹を取り除いて60匹、その四分の一が15匹になり、二回目の記録と合います。

例題2｜三回目で条件を確かめる

別の調査では、一回目30匹、二回目20匹でした。同じ割合の模型で最初の数と、二回目の後に残る数を求めてください。三回目に25匹捕まった場合、同じ割合が続いたと言えるでしょうか。

答え・解説：最初は90匹、二回目の後は40匹です。三回目25匹は同じ割合の模型と合いません。 残る割合は20÷30で三分の二、捕まえる割合は三分の一です。初めの30匹を三倍して90匹、そこから30匹と20匹を引くと40匹です。三回目の模型上の期待値は40の三分の一で約13.3匹です。実測数は整数で揺らぎますが、25匹という結果なら、条件や偶然の変動を点検する必要があります。

仮定が崩れる場面を具体的に考える

一回目で捕まりやすい魚だけを取り除くと、残った魚は隠れやすい個体に偏るかもしれません。二回目に網を入れる場所を変えたり、時間を長くしたりした場合も、捕獲割合を同じとみなせません。流れ込む川から魚が入ってきたら、取り除いた分だけ減るという条件そのものが崩れます。

反対に、魚が網を避けるようになったとき、捕獲数の大きな減少をすべて個体数の減少と読むと、初期数を誤って推定します。数が減ったのか、捕まりにくくなったのかを区別するために、採集場所、時間、水位、網の種類などの記録が必要です。減少するグラフの形だけでは原因は決まりません。

この方法と標識再捕法を混ぜないために、調査図の「戻す」矢印を確かめます。戻す場合は標識魚の割合を使い、戻さない場合は残る個体数の減少を使います。同じ魚の調査でも、操作が変われば計算の根拠が変わるのです。問題名より手順を優先して読む習慣をつけましょう。

推定数と実測数を区別して書く

模型の計算で80匹と出ても、池の魚を実際に80匹すべて数えたわけではありません。決めた条件のもとで説明できる推定値です。中学入試では整数になるように整えた値が多いものの、実際の調査では測定のばらつきがあります。推定値を過度に細かい小数で表示しても、その細かさが正確さを保証するわけではありません。

解答を組み立てるときは、最初の数、各回の捕獲数、残る数を横へ並べます。毎回の引き算と、その残りに掛ける捕獲割合を同じ図で追えば、分母を最初の数に戻すミスを防げます。「同じ努力で捕まえる」という言葉だけで同じ割合が確実だと断定せず、設問でどこまで仮定してよいかも確認してください。

捕獲数が同じだったらどうするか

二回とも20匹だった記録に、例題1の方法を機械的に使うと、残る割合が一になり、取り除く割合はゼロになります。しかし実際には20匹を捕まえているので、ゼロという条件と両立しません。有限の初期数で同じ捕獲割合・戻さないという完全な模型では説明できない記録です。無理に大きな数字を出すより、仮定が合わないことを確かめます。

調査には偶然のばらつきもあるため、実測で二回同じ数になったことだけで不正な記録とは言えません。模型の等式をそのまま実測の厳密な規則にしてはいけないという意味です。どの程度の不確かさがあるかを扱うには、より多くの調査や統計的な方法が必要になります。

捕獲後の魚を別の容器で保持するときも、調査対象から取り除いた数として管理します。途中で一部を戻したのに記録を直さなければ、池の残数が帳簿とずれます。個体に標識をつけたかどうかより、この調査で実際に戻したかどうかが計算上の分かれ目です。手順を文章から図へ変換すると、方法の名前に頼らず解けます。