魚の体長が二倍になったら、体重も二倍になるでしょうか。同じ形のまま縦・横・厚みが全て二倍になる模型なら、体積は八倍になります。長さと重さを一対一の比例として扱う前に、何方向に大きくなったかを考えます。
ただし、生きた魚はいつも同じ形のまま育つわけではありません。種類や成長段階、体の状態によって体長と体重の関係は変わります。この原稿では、同じ形と同じ密度を保つという条件を置いた計算模型を扱います。実物の重さを体長だけで正確に言い当てる方法ではありません。
三つの長さが同じ倍率になる
直方体なら、体積は縦×横×高さです。魚の形は直方体ではありませんが、形が相似であれば、どの方向の長さも同じ倍率になるので、体積の倍率は長さの倍率を三回掛けたものになります。密度も同じなら、質量もその倍率になります。
体長が二倍なら2×2×2＝8倍、三倍なら27倍です。体長が半分なら体重は八分の一になります。図では体長の矢印と体重の値を別に書くと、「二倍」という言葉がどちらの量に掛かるかを区別しやすくなります。
例題1 体長から模型の体重を求める
体長10cmの魚が20gでした。同じ形と密度を保つ模型で、体長20cmと30cmの魚の体重を求めてください。
答え・解説： 20cmなら160g、30cmなら540gです。20cmは体長が二倍なので20×8＝160。30cmは三倍なので20×27＝540です。20gを2や3で掛けるだけでは、幅と厚みの増え方を落としています。体重の比は1：8：27になります。
平均の体長を先に使ってよいか
魚の群れ全体の重さを見積もるとき、平均体長を求め、その長さの魚の重さに匹数を掛けたくなります。しかし、三乗の関係では、この順序は一般に正しくありません。長い魚の重さの増え方が大きいため、短い魚と長い魚を平均一本にまとめると、その違いが失われます。
例題2 平均体長が同じ二つの群れ
例題1の模型を使います。群れAは体長10cmと30cmの魚が一匹ずつ、群れBは20cmの魚が二匹です。二つの群れの平均体長と合計体重を求めてください。
答え・解説： 平均体長はどちらも20cmです。Aの合計体重は20＋540＝560g、Bは160×2＝320gです。Aを平均20cmの二匹と置き換えると320gになり、本来の560gより240g小さくなります。平均体長が同じでも、長さの分布が違えば合計体重は同じではありません。
同じ長さでも重さが違う場合
現実の測定で、同じ体長なのに体重が違う魚が見つかることがあります。体の厚み、栄養状態、体内にあるものなども重さに関係します。この違いを無視して「表が間違っている」と決めつけないでください。体長から体重を推定する式には、どの種類の、どの範囲の魚を測って作ったかという適用範囲があります。
逆に、問題文が相似と一定密度を明示している場合には、その条件の中で計算します。実物では誤差があるという理由だけで、与えられた模型を使わないのも適切ではありません。模型から得る答えと、実際の生物への説明を分けることが重要です。
体長の測り方にも注意が必要です。尾びれの先まで測った全長と、別の基準点まで測った長さは、そのまま混ぜられません。測定表の見出しや図に示された端点を確認します。単位がcmとmmで混在していたら、倍率を作る前にそろえます。
群れの重さを求めるなら、個体ごとに計算するか、長さの階級ごとに重さを求めて匹数を掛け、最後に足します。代表値を使う場合は近似だと示します。「平均を取ってから計算」と「計算してから平均」がいつも同じとは限らないことを、この魚の模型で確かめておきましょう。
重さが八倍という結果に驚いたときは、三つの方向へ二倍になった図へ戻ります。理科の数量は、数字だけを動かすより、何がどの方向に広がったのかを描いた方が納得して使えます。
体重から長さへ戻す場合
逆向きの問いでは、重さの倍率が何を三回掛けた数になっているかを探します。体重が八倍なら長さが二倍、二十七倍なら三倍です。重さの倍率を三で割って長さを求めるわけではありません。三乗と三倍は違う操作だと、最初の図へ戻して確認します。
一方、体重が二倍という数値だけで、体長を整数倍と答えられるわけではありません。中学入試では、扱いやすい倍率や対応表が与えられることがあります。表にない値を勝手に直線で補間するのではなく、近似してよいかという指定を読みます。計算できる数に整えた模型の問題と、実際の測定点から傾向を読む問題では、答えに求められる精度が異なります。