中学受験理科｜透析で外の水を交換する理由｜膜の中に残る量を計算する

小さな物質は通すが、大きな物質は通しにくい膜があります。この膜で囲んだ袋を水に入れると、通れる物質は濃さの違いに応じて移動します。それなら一度水につければ、袋の中の小さな物質は全部なくなるのでしょうか。外側にも同じ物質がたまるため、一度の交換でゼロになるとは限りません。

膜があるだけでは、片道の出口にならない

透析の膜は、小さな溶質を一方向にだけ放り出す仕組みではありません。通れる粒子は両方向へ動きます。初めに袋の内側の濃さが高ければ、全体として外へ出る分が多くなり、濃さの差が小さくなります。十分時間がたち、両側の濃さが等しくなれば、出入りは続いても、全体としてどちらかへ偏った移動はなくなります。

ここでは、膜を通れる溶質Xが水に一様に溶け、内外の体積が一定である理想的な模型を使います。膜を通れない物質Yは袋の中に残ります。現実の透析では水の移動、物質の電荷、膜への吸着なども影響しますが、例題ではそれらを除外します。消化で物質が小さくなる反応を扱うのではなく、すでに存在するXがどこへ分配されるかを考える問題です。

濃さが同じでも、量が同じとは限らない

袋の内側が十mL、外側が九十mLなら、合わせて百mLです。Xが全体で百mgあり、平衡になって内外が同じ濃さなら、一mLあたり一mgになります。袋に残るのは十mL×一mgで十mg、外側は九十mgです。半分ずつになるわけではありません。量は液体の体積の比に応じて分かれます。

膜を通れないYについて、同じ計算をしてはいけません。「水の中にある物質は何でも全体に均等になる」と読むと、膜の役割が消えてしまいます。問題文の物質名の横に、Xは通る、Yは通らないと印を付けておくと、保存する範囲を取り違えずにすみます。

例題1。体積一定でXだけが膜を通る模型。Yは二回とも袋に20mg残ります。

外の水を捨てた瞬間、全体の量が減る

一回目の平衡後、外の九十mLを取り除くと、そこに含まれた九十mgのXも系の外へ出ます。袋に残るのは十mgです。新しい九十mLの水に入れ直すと、今度はその十mgが百mLへ分配され、袋に残るXは一mgになります。交換のたびに引く一定の量があるのではなく、その時点で残った量に割合を掛けます。

ここで「一回で九十mg減ったから、二回で百八十mg減る」としてはいけません。二回目の開始時には、もう十mgしかないからです。残る割合が十分の一なら、百、十、一という表にすると、毎回の出発点が見えます。膜が働くことと、外液を捨てて物質を取り除くことを、時間の順序で分けるのがコツです。

例題1　二回交換すると残る量は

十mLの袋の中に、膜を通るXが百mg、通らないYが二十mgあります。外側の九十mLには初めXもYもありません。十分に待った後、外液を新しい九十mLに替え、もう一度十分に待ちました。袋の中に残るXとYを求めてください。内外の体積は変化しません。

答え・解説： Xは一回目に百×十÷百＝十mg、二回目に十×十÷百＝一mgです。Yは膜を通らず、反応もしないので二十mgのままです。濃さがそろうのはXについてであり、Yの濃さまで内外で同じにする必要はありません。

例題2　同じ水量を分けて使う

十mLの袋にXが百mgあります。Aは外液百八十mLを一回使います。Bは外液九十mLを二回使い、毎回平衡まで待って全交換します。使う外液の合計量は同じです。袋に残るXはどちらが少ないですか。

答え・解説： Aは百×十÷百九十＝十九分の百mgで、約五・二六mgです。Bは例題1と同じ一mgなので、Bの方が少なくなります。同じ水の総量でも、交換の時機が違えば結果が変わります。ただし、平衡を待つ時間まで同じだとは指定していないので、Bが短時間で済むとは言えません。

「全部除いた」と言う前に

計算上、一回ごとに一定割合を残すなら、有限回の交換で厳密なゼロにはなりません。しかし、実用上必要な濃さ以下に下がれば十分という場合があります。検出できなかったことと、物質が一粒もないことも別です。問題では、求める基準がゼロなのか、何mg以下なのかを確認します。

実験を読むとき、袋の外へ出た量だけを見ているのか、袋の中に残った量を見ているのかでも式が変わります。外へ出た量は、交換前にあった量から残留量を引けば求められます。内側、外側、捨てた分の三つの欄を作り、合計がつながるか確かめると、複数回の操作でも見失いません。

外液を交換せず、十分な平衡の後も同じ液につけておいたらどうでしょう。今回の模型では、さらに待つだけで袋のXが減り続けることはありません。すでに内外の濃さが等しいためです。時間を増やす操作と、新しい外液に替えて濃度差を作り直す操作は違います。また、内側の体積を無視して九十mLだけで全量を割ると、分配後の濃さが高く出てしまいます。平衡を計算する水の体積には、膜の両側にあってXが行き来できる十mLと九十mLの両方を含めてください。