底の近くを管でつないだ二つの水槽では、同じ水が静止し、両方の水面に同じ気圧がかかると、水面の高さがそろいます。ただし、そろう高さは、初めの二つの高さを足して2で割った値とは限りません。水槽の底面積が違えば、同じ1cmの高さに入る水量も違うからです。
この問題で先に保存するのは、水の高さではなく水の体積です。「最後の水面が同じ」という水圧の条件と、「移っただけなので水量は変わらない」という条件を組み合わせます。中学入試では、理由を答える部分と数値を求める部分を分けて書くと、考え方が明瞭になります。
同じ高さで、横向きの押す力を比べる
管の入口が同じ高さにあるとします。一方の水面が高ければ、その入口は水面からより深い場所にあります。同じ種類の液体なら、その分だけ水による圧力が大きくなり、水は水面の低い側へ移ります。両側の水面がそろうと、同じ高さでの圧力差がなくなります。
「水の重さが等しくなるまで流れる」という説明は正確ではありません。広い槽には、同じ高さでも多くの水が入ります。水が静止した後、二つの槽の水の重さが違っていても構いません。比べるのは管でつながった場所の圧力です。
例題1｜面積が違う二つの槽をつなぐ
底面が同じ高さにある垂直な水槽A、Bがあります。Aの底面積は100cm²、水の深さは18cm。Bの底面積は200cm²、水の深さは6cmです。二槽をつなぐ管の栓を開けて静止させました。最後の水の深さと、AからBへ移った水の体積を求めてください。管は初めから水で満たされ、その中の水量は変わらないとします。
答え・解説： 初めに槽内にある水は、Aが100×18＝1800cm³、Bが200×6＝1200cm³、合計3000cm³です。最後は底面積の合計300cm²の場所に同じ高さまで水があるので、深さは3000÷300＝10cmです。
Aの水は18cmから10cmへ8cm下がり、100×8＝800cm³減ります。Bは6cmから10cmへ4cm上がり、200×4＝800cm³増えます。移動した水量が両側で一致することも確かめられました。水位の変化8cmと4cmは等しくありません。
単純平均の12cmを使うと、最後の水量が300×12＝3600cm³になり、水が600cm³増えてしまいます。答えの高さを出した後に体積へ戻すと、こうした誤りを発見できます。広いBの初めの低い水位が、最後の高さへ大きく影響しているのです。
例題2｜水面の動きから底面積を逆算する
同じ高さに底がある二槽をつないだところ、Aの水面は6cm下がり、Bの水面は2cm上がりました。Aの底面積は80cm²です。Bの底面積を求めてください。槽の側面は垂直で、水の漏れや蒸発はないとします。
答え・解説： Aから出た水は80×6＝480cm³です。同じ480cm³がBへ入り、2cmの高さを増やしたので、Bの底面積は480÷2＝240cm²です。水位の変化が3分の1なら、面積は3倍になります。
水面がよく動く方を広い水槽と選ぶのは逆です。同じ量を入れるなら、細い容器の方が水面は大きく動きます。コップと広い洗面器に同じ水を注ぐ場面を思い浮かべると、計算結果の向きも点検できます。
水深をそろえる前に、底の高さを確認する
今回は二つの底を同じ高さとしました。底が段違いなら、最後に等しいのは共通の基準から測った水面の高さであって、それぞれの底から測った深さではありません。地面などの基準線を一本引き、そこから水面までを比べてください。深い槽の水深は、その分だけ大きくなります。
また、管を開ける前に管が空だった場合は、流れ出た水の一部が管を満たします。例題のように、槽内の水量だけをそのまま保存して計算することはできません。管の体積を無視するのか、初めから満水なのか、問題文の一文を読み落とさないようにします。
水面がそろわない条件もある
片方の上部を密閉して異なる圧力をかけたり、混ざらない別の液体を入れたり、極端に細い管で毛細管現象が目立ったりすれば、同じ高さになるとは限りません。つながっているという形だけで判断しないことが大切です。今回使った「同じ水・同じ気圧・十分な太さ・静止」の条件を図の余白へ短く書くと、別の装置の問題とも混同しません。
水位がそろうまでの時間は、今回の体積計算だけでは求められません。管の太さや長さ、水の流れにくさなどの条件が必要です。細い管では途中の変化が遅くても、十分待った後の高さを決める条件は別です。最終状態の問いと、そこへ至る速さの問いを分けて読むと、与えられていない時間を勝手に決めずにすみます。