中学受験理科｜時計の脱進機とは？｜歯の進む回数と振り子の往復

カチ、コチを一往復と取り違えない

振り子時計の音を聞きながら時間を数える問題では、一回という言葉に注意が必要です。片側から反対側へ動くのが一回なのか、出発した側へ戻るまでが一回なのか。さらに時計の歯車が一歯進む回数は、その数え方と同じとは限りません。脱進機は、歯車を止めたり少しずつ解放したりしながら、振り子などの規則的な動きと歯車の進みを結び付ける部分です。中学入試の模型図では、どの瞬間に歯を解放するかが答えを決めます。

機械式時計の歯車には、重りやぜんまいから動かすためのエネルギーが伝わっています。もし歯車が自由に回り続ければ、決まった時刻を指せません。一方、止めたままでは時計の針も進みません。そこで規則的な振動に合わせて進みを区切り、同時に振動の損失を補う小さな働きかけをします。「振り子が歯車を力ずくで回し続ける」という説明だけでは、エネルギー源の役割が抜けています。

例題の模型：一往復で二歯進む。数値がある図は本文の例題用模型です。

実物の名称より、模型の一歯を確かめる

脱進機にはいろいろな方式があります。すべての時計が同じ振り子を使い、一往復で同じ歯数だけ進むわけではありません。本稿の例題では、一回の解放で一歯進み、左右へ移るたびに一回解放する模型を使います。つまり一往復では二回解放します。この規則は例題用の条件であり、実物の時計一般の歯数の関係を決めたものではありません。

図を読んだら、振り子が左にある時点に印を付け、右へ行く、左へ戻る、と二本の矢印を書きます。その途中のどこで歯車が進むかを記入すると、往復数と歯数の関係が見えます。歯車の絵が一歯ずつ丁寧に描かれていなくても、問題文に歯数や解放規則があれば、その数値を使います。見た目の間隔を定規で測って判断しないことも大切です。

数える瞬間をそろえる

ちょうど解放が起きた時を時刻0秒とすると、その瞬間を第1回に数えるかどうかで、見かけの回数が一つ変わります。時間間隔を求めるなら、第1回から第11回までには十個の間隔があります。回数を時間に直す問題で一つずれるときは、振り子の公式を疑う前に、両端の数え方を確認します。例題では「測定開始直後から何秒間に新たに進む歯数」として、出発時の解放を含めません。

振り子の振れが小さくなってきた場合も、同じ条件のまま永遠に動くわけではありません。空気や支点との摩擦などでエネルギーを失います。脱進機が補給する働きと振動の周期は別の役割です。補給があることを根拠に、振れ幅が大きいほど必ず時計が速く進むと決めつけるのも誤りです。問題で与えられた周期、解放の条件、歯数を分けて整理しましょう。

例題1｜一回転するまでの時間

一往復が2秒の振り子を使い、左右へ移るたびに一歯進む模型です。歯車は30歯あります。この歯車が一回転する時間を求めます。解放は等間隔で起こるものとします。

答え・解説：30秒です。一往復で二歯進むので、一歯あたり2÷2＝1秒です。一回転には30歯分進むため、1×30＝30秒となります。2×30＝60秒とした場合は、一往復と一回の解放を同じものとして扱っています。別の求め方では、30÷2＝15往復、15×2＝30秒です。二つの道筋が同じ答えになることを確認できます。

例題2｜時計の遅れを求める

上の模型は、一歯進むごとに表示が1秒進むように調整されています。ところが振り子の一往復が2.4秒になりました。実際の時間が120秒たつ間に、表示は何秒進み、何秒遅れますか。歯の進み方は変わらず、初めは時刻が合っていたものとします。

答え・解説：表示は100秒進み、20秒遅れます。新しい一歯の間隔は2.4÷2＝1.2秒です。実時間120秒の間に進む歯数は120÷1.2＝100歯なので、表示は100秒です。120－100＝20秒が遅れになります。周期が0.4秒増えたから120×0.4と計算することはできません。0.4秒は一往復ごとの差であり、実際に何往復したかをそろえる必要があります。

時間の問題を図で終わらせる

最後に、実時間、往復数、解放回数、表示時間の四つを別の欄に書くと、単位の混同を防げます。時計の表示が100秒だから振り子が100往復した、とは限りません。ここでは50往復です。知らない機械が登場する問題ほど、与えられた一回の動作を小さく切り出すと解けます。振り子の長さと周期の問題へ進む前に、何を一回と数えているかを言葉にできるようにしておきましょう。

一歯進む図から針の進みまで

脱進機の歯車と時計の針が、必ず同じ軸に取り付けられているとは限りません。途中に歯数の異なる歯車があれば、回転数はそこで変わります。最初の歯車が30秒で一回転すると分かっても、それだけで分針が30秒で一回転するとは言えません。歯車をたどる設問では、脱進機の解放で求めた回転と、その後の歯数比の計算を二段階にします。

たとえば歯の進みを動画で記録している場合、撮影の間に複数の解放が起きると、写った位置だけでは一歯ずつの動きが見えません。歯に印を付けた記録と音の回数を合わせるなど、何を測定しているかを確かめます。音が二回したから歯車が二回転したという読み方はできません。小さな歯の移動が積み重なって一回転になるという、部分と全体の関係を忘れないようにします。

時計の遅れを直す問題でも、表示の針を動かして時刻を合わせることと、周期を直すことは別です。表示だけを合わせても周期が長いままなら、再び遅れが増えます。時刻のずれを直す操作なのか、ずれが増える原因を直す操作なのかまで読むと、装置の目的がはっきりします。