中学受験理科｜アルキメデスのねじで水が上がる理由｜水の区画と出口までの待ち時間

斜めの筒の中でらせん状の羽根を回すと、低い場所の水を高い出口へ送れる装置があります。アルキメデスのねじと呼ばれる仕組みです。ねじという名前から、金属の棒が先へ進んで水を押すと考えがちですが、ここで注目したいのは羽根と周囲の壁の間にできる、水を収める区画です。

水はらせんの道を自由に流れるだけではない

装置を回すと、下側で取り込まれた水が区画に保たれながら上方へ送られます。水が単に斜面に沿って低い方へ流れるのを、回転によってくい止め、順に高い位置へ運ぶ仕組みです。外筒の有無など構造には種類がありますが、この記事では水がこぼれない区画をもつ模型として考えます。

らせんを横から描いた線は、一本の管を示すとは限りません。図に見える曲線が羽根の端なのか、筒の輪郭なのかを先に確かめます。これを取り違えると、水が羽根の中を通るという、実際とは異なる説明になります。

図：ねじの締結でなく水を運ぶ区画を追い、運転開始と定常出水を分ける。数値は本文の例題条件に対応する模型です。

入口で取り込んだ水が出口まで移るには時間が必要です。初めに装置が空なら、最初の何回転かは内部を満たすために使われます。その後、入口から入る量と出口から出る量が同じになる運転へ移ります。流れ始めるまでの待ち時間と、流れた後の毎分の量は別の情報です。

「一回転で10mL運ぶ」と書かれていても、それが入口で取り込む量なのか、運転が安定した後に出口から出る量なのかを読みます。初めから水を入れていた装置と、空から始めた装置を比べるなら、測定開始時の条件をそろえなければなりません。

空の模型を毎分12回転で動かします。最初の3回転では出口から水が出ず、その次から一回転ごとに8mLずつ出るとします。1分間で容器に集まる水は何mLですか。ここでの一回転分は、問題用に決めた値です。

答え・解説： 一分間は12回転ですが、出水するのは12−3＝9回転分です。8×9＝72mLになります。8×12＝96mLは、待ち時間を無視した値です。最初の3回転が「運転しなかった時間」ではなく、内部へ水を運んでいた時間であることも説明できます。

安定して運転する別の模型が、重さ10Nの水を毎分、高さ0.6mまで運びます。一分間に水を持ち上げる仕事を求めなさい。また、外から毎分10Jの仕事を与えた場合、その何%が水を持ち上げる仕事になっていますか。仕事は力Nと、その力の方向へ動いた距離mの積で表すものとします。

答え・解説： 水に与える仕事は10×0.6＝6J。割合は6÷10×100＝60%です。らせんに沿った長い道のりではなく、水の高さの増加を使います。残り4Jはこの模型では持ち上げる仕事にならず、摩擦などに回ったと整理します。

同じ回転数でも、区画の大きさが違えば運ぶ水量は変わります。また、傾ける角度、入口の水位、隙間からの漏れによって結果は変わり得ます。「回転数を二倍にすれば必ず二倍」と実機一般へ広げるのではなく、測定範囲で一回分が一定だったかを確認します。

傾きを大きくした実験で、毎分の水量は減ったのに到達する高さは増えたとします。どちらが良い装置かは、水量を優先するのか、高い所へ運ぶことを優先するのかで違います。両方を比較する問題では、水の重さと高さの積をそろえた時間で調べれば、持ち上げた仕事を比べられます。

締め付け用のねじでは、一回転で軸がどれだけ進むかを考えます。このポンプでは軸の位置を固定したまま、内部の水を移動させられます。したがって、ねじのピッチだけを見て「軸が一回転でその長さだけ上へ動く」と説明するのは誤りです。

図の軸に印をつけ、装置を支える台に対してその印がどこへ動くかを想像すると、回転と移動を分けやすくなります。水の区画に付けた番号は順に出口へ近づきますが、軸の端は支えた位置に残る、という二つの見方を同時に使います。

集めた水量を問う問題では、出口の容器だけを囲んで、いつからそこへ水が入るかを書きます。装置全体の水量なら、内部に残る分も含めなければなりません。問題の最後に運転を止めた場合、内部の水まで全量回収したかどうかも答えを左右します。

初めて聞く装置の名前が出ても、問われる計算は「一回分×回数」や「重さ×高さ」に戻せます。大切なのは、どの回数から出水を数え始めるか、どの水を計算に入れるかです。装置の難しそうな見た目に引かれず、入口・途中・出口の三か所に分けて読みましょう。

装置の下端が十分に水へ入っていないと、一つの区画へ取り込む水が少なくなる場合があります。回転数を増やしたために供給する水が追い付かず、入口の水面が下がった記録なら、回転数だけの効果として比べることはできません。入口の水位も観察したかを確認します。

一回ごとの出水が脈を打つ場合には、短い一瞬の量で毎分の量を推定すると値が揺れます。複数回転の間に集めた総量を割れば、区画ごとのばらつきをならした平均値になります。ただし、平均化した値から一つ一つの区画が全部同量だったと逆に断定はできません。

図の矢印を回転方向だけにすると、水がどちらへ移動するかが抜け落ちます。軸の回転を円形の矢印、水の上昇を直線の矢印で描き分けると、入口と出口を取り違えにくくなります。実物のらせんの巻き方が変わった場合は、同じ回転方向でも移動方向が変わり得るので、図で与えられた向きを優先します。