断熱材を二枚重ねると、二枚の間の温度は高温側と低温側のちょうど真ん中になるでしょうか。二枚が同じ熱の通しにくさならそうなる場合がありますが、材質や厚さが違えば、温度差の分かれ方も変わります。
今回は、温度が時間によって変わらなくなった二層の壁を考えます。中学入試の資料問題として、熱の通しにくさを表す数値を与え、その比から境目の温度を求めます。数値は計算用の設定で、家の断熱性能をそのまま見積もるためのものではありません。
一枚目を通った熱は二枚目も通る
高温側から低温側へ、壁の面に垂直に熱が移るとします。側面から逃げる熱はなく、途中に発熱源もありません。温度が安定した状態では、一秒間に一枚目を通る熱と二枚目を通る熱は同じです。もし違えば、その間に熱がたまるか減るかして、温度が変化してしまいます。
熱を通しにくい層ほど、同じ量の熱を通すのに大きな温度差が必要だと指定します。この通しにくさを熱抵抗と呼びます。抵抗の比が1対3なら、二層にかかる温度差も1対3です。温度そのものを1対3にするのではありません。
全体の温度差を配る
高温側80℃、低温側20℃なら、使える差は60℃です。熱抵抗1対3の二層なら、60を4等分して15℃と45℃に分けます。高温側に抵抗1の層があれば、その層を通った境目は80－15＝65℃となります。
高温側に抵抗3の層を置けば、境目は80－45＝35℃です。二層の合計の通しにくさは同じでも、境目の温度は変わります。壁全体を通る熱と、途中の温度を同じ問いだと思わないことが、この問題の中心です。
例題1：境目は何℃か
高温側は80℃、低温側は20℃です。高温側から順にA、Bを重ね、熱抵抗はAが1、Bが3とします。定常状態で、横への熱の逃げや接触面の抵抗は無視します。AとBの境目の温度を求めましょう。
答え・解説： 全体の差は60℃、Aの分は60×1÷4＝15℃です。したがって80－15＝65℃です。低温側から確認すると20＋45＝65℃で一致します。両側から同じ値になることを確かめると、引く層を取り違えたミスが見つかります。
80を4で割って20℃にする計算では、低温側が20℃という条件を使えていません。基準となる温度がゼロでないため、まず両端の差を取る必要があります。温度の比ではなく、温度降下の比と欄に書きます。
例題2：一方の厚さだけを二倍にする
同じ材質、同じ面積では、熱抵抗は厚さに比例するとします。例題1のAだけを二倍の厚さにし、Bはそのままです。新しい境目の温度を求めましょう。両端の温度は変えません。
答え・解説： Aの抵抗は2となり、比は2対3です。Aの温度差は60×2÷5＝24℃なので、境目は80－24＝56℃です。Aを厚くしたことでA内の温度差の割合が増えています。温度差を求める分母も4から5へ変わる点を忘れないようにします。
並べて置く場合とは違う
壁の半分にA、残り半分にBを使う場合は、熱がAとBを別々の道で通ります。その配置を、二枚重ねと同じ比の計算にしてはいけません。今回の図では、熱の道がAを通った後にBを通る一本の順路になっています。先に道筋を指でたどりましょう。
実物では壁の両側の空気との熱交換、接触面、すき間、湿気なども関係します。空気層があれば対流の影響も考える必要があります。本稿では除外した条件を、実際の家にもないことにしてはいけません。模型の計算と建築の判断は範囲が違います。
初めて熱を加えた直後には、層自体の温度が変化している途中です。そのときも一秒あたりの熱が全層で等しいとは限りません。「十分時間がたち温度が変わらなくなった」という一文は、計算の飾りではなく、二層の熱流をそろえる条件です。
熱抵抗という言葉が初見でも、温度差60を1対3に分ける操作は算数で扱えます。理科の発展問題では、難しそうな名前に目を奪われず、図の配置と比例関係を言葉に直すことが役立ちます。
一枚ごとの温度差を検算に使う
境目65℃と求めた後は、80－65＝15、65－20＝45と戻って、差の比が1対3に合うか確認します。仮に境目50℃と書いたなら差は30対30で、抵抗が等しい壁を計算したことになってしまいます。両端の平均という習慣が、どこで条件と食い違うのか数字で示せます。
また、両端の温度を同じだけ上げた場合は、全体の温度差が変わりません。今回の抵抗が温度によらず一定という模型なら、通る熱の量も変わらず、境目の温度だけ同じだけ上がります。絶対的な温度と温度差を分けて考えるための確認です。温度がマイナスでも差の配分は同じなので、ゼロを特別な境界として計算を分断しないようにしましょう。
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