中学受験理科｜望遠鏡の分解能｜倍率を上げても二つの星が分かれない理由

望遠鏡の倍率を高くすれば、近くに並んだ二つの星は必ず見分けられるでしょうか。答えは、必ずしもそうではありません。ひとまとまりにぼけて写った像を大きくしても、二つを区別するための情報が増えるわけではないからです。ここでは「大きく見える」と「細かく見分ける」を、別の物差しとして扱います。

大きさの話に、細かさの答えを入れない

紙に二つの小さな黒丸を描き、少し離して見てみましょう。丸の間が狭ければ、一つにつながって見えることがあります。このとき、その一つに見えた形をそのまま拡大コピーしても、元の二つの輪郭が復元されるわけではありません。望遠鏡も、ただ倍率を上げる操作と、像の細部を区別できる能力とは分けて考えます。

星から届く光は、望遠鏡を通って完全に面積ゼロの点になるわけではありません。光が波として広がる性質のため、点の周りにも光が分布します。隣の星の像とその広がりが重なると、二つの星だと判断しにくくなります。この広がり方を詳しい式で暗記する必要はありません。入試で資料が与えられたら、「二つを区別できる最小の角度」を読む練習をしましょう。

分解できる最小角は、小さい方がよい

たとえば、見分けられる最小の角度が二秒角の望遠鏡と、一秒角の望遠鏡があるとします。秒角は角度の単位で、一度を三千六百分の一に分けた大きさです。時間の秒ではありません。二秒角の望遠鏡では区別できない近い二星でも、一秒角の望遠鏡なら区別できる場合があります。数値が小さい方が、細かな違いを捉えられるのです。

「能力が高いから数値も大きいはず」と思うと、ここで選択を逆にします。数値が示しているのは能力そのものの点数ではなく、区別できる間隔の限界です。最小の文字の大きさを比べる検査なら、小さな文字まで読める方がよい。それと同じように、何の最小値なのかを言葉へ戻してください。

星自体の大きさではなく、像の広がりの模式図です。波長などをそろえ、光学誤差と大気の影響を除く模型。

口径を変える実験では、ほかの条件をそろえる

口径とは光を集める対物レンズや主鏡の有効な直径です。同じ波長の光で、光学系の誤差や大気の揺らぎを無視できるとき、口径が大きいほど回折による像の広がりは小さくなります。本稿の例題では、口径と最小分離角の積が一定になる模型を指定します。これは倍率を計算する焦点距離の比とは違う関係です。

実際の観測では、空気の揺れ、ピントのずれ、星の明るさの差なども見え方に影響します。そのため、大きな望遠鏡なら地上からいつでも理論どおりに見える、と結論づけないでください。また、集める光の量を比べるときには口径の二乗が関係しますが、今回の最小角の計算に二乗を持ち込んではいけません。一台の望遠鏡にも、光の量、倍率、細部の区別という別々の評価があるのです。

例題1　口径を二倍にしたら

同じ色の光を観測する模型の望遠鏡で、口径六cmのとき最小分離角は二秒角でした。口径と最小分離角の積が一定だとします。口径十二cmでは最小分離角はいくつですか。また、見かけの間隔が一・五秒角の二星を区別できるのはどちらですか。間隔が最小分離角以上なら区別できるものとします。

答え・解説： 十二cmでは一秒角です。六×二＝十二なので、十二÷十二＝一と計算します。一・五秒角は二秒角より小さい一方、一秒角より大きいため、十二cmの望遠鏡だけが区別できます。星の実際の距離が変わったのではなく、装置が見分けられる間隔が変わった点を確認しましょう。

例題2　倍率が同じ二台

望遠鏡AとBはいずれも百倍です。最小分離角はAが一・二秒角、Bが〇・八秒角でした。間隔一秒角の二星を見るとき、どちらを選びますか。さらに、Aの接眼レンズだけを交換して二百倍にしたら、この資料だけで区別できるようになると言えますか。

答え・解説： Bを選びます。一秒角はBの限界より大きいからです。Aを二百倍にしても、口径などの条件が同じなら、この資料から分離能力が向上したとは言えません。「倍率が二倍だから最小角も半分」と計算する根拠はありません。

答案では、比べた数値の意味まで書く

記述で「Bの方が性能がよい」とだけ書くと、どの性能を見たのか分かりません。「Bは区別できる最小角が〇・八秒角で、二星の間隔一秒角より小さい」と書けば、判断の筋道が伝わります。図の二つの光の広がりも、星自体の大きさを描いたものではありません。星の像を装置がどう写したかという図です。

家庭で確かめるなら、ぼけた写真を画面で拡大し、輪郭まで新しく現れるかを考えるだけでも、倍率との違いはつかめます。ただしデジタル処理による補正と望遠鏡の光学性能は同一ではありません。似ている点を説明に使いながら、同じ現象だと言い切らない姿勢も、資料を読む理科では大切です。

角度の間隔と、宇宙での距離

二つの星の見かけの間隔は、観測者から見た方向の違いです。一秒角と書かれていても、二星の間が宇宙で何km離れているかは、それだけでは求められません。遠いところの大きな隔たりも、近いところの小さな隔たりも、同じ角度に見える場合があります。本稿の例題で「近い二星」と言うときは、空の上で見える方向が近いという意味です。望遠鏡の図に星までの距離が示されていなければ、実際の間隔を勝手に補って計算しないでください。