望遠鏡の説明に「口径80mm、焦点距離600mm」とあり、接眼レンズには「20mm」と書いてあります。倍率は、どの数字を使って求めるのでしょうか。長さの単位が同じでも、表す場所と役割は違います。数字の大きい順に割ればよいわけではありません。
ここでは、遠方を見る二枚の凸レンズによる基本的な望遠鏡を考えます。対物レンズは天体側、接眼レンズは目の側です。倍率の大きさは、対物レンズの焦点距離を接眼レンズの焦点距離で割った値になる、という関係を問題の条件として使います。
口径は幅、焦点距離は奥行きの長さ
口径は光を受け入れる有効な直径です。焦点距離は、遠くから来る平行な光を集める性質を表す長さです。レンズを正面から見た幅と、光が進む向きに測る長さなので、同じmmでも意味は異なります。
接眼レンズに書かれた20mmも、ここではその焦点距離です。目に当てる部分の直径が20mmという意味ではありません。問題に表があれば「対物の口径」「対物の焦点距離」「接眼の焦点距離」の三列へ分けると、使う数字が明確になります。
例題1：単位をそろえて倍率を求める
対物レンズの口径が8cm、焦点距離が60cmの望遠鏡に、焦点距離15mmの接眼レンズを付けます。上の関係を使い、倍率の大きさを求めなさい。次に、接眼レンズを焦点距離10mmのものへ替えたときの倍率を求めてください。
答え・解説： 対物の焦点距離60cmは600mmです。初めは600÷15＝40倍、交換後は600÷10＝60倍です。口径8cmは、この倍率の計算には使いません。同じ対物レンズなら、接眼の焦点距離が短い方が倍率は高くなります。
60÷15＝4と計算すると、cmとmmをそろえていないため十倍違います。割り算の前に両方の単位を確認してください。また、接眼レンズを小さく切ったから倍率が上がる、という説明も違います。比較しているのは外形の大きさではなく焦点距離です。
何が40倍になるのか
望遠鏡の倍率は、肉眼と比べて見込む角度がどれほど大きくなるかを表す角倍率です。実物の月の直径が40倍になるわけでも、望遠鏡の中にできた像の長さが何に対しても40倍というわけでもありません。
写真の画面上の大きさを比べるなら、撮影方法や表示倍率も関係します。接眼での角倍率と、印刷写真を定規で測った長さの比を混ぜないようにします。中学入試では倍率という同じ言葉が、顕微鏡や地図など別の場面にも出るため、何の比かを最初に確認します。
光を集める量は、口径の面積で比較する
同じ条件で同じ天体の光を受ける場合、口径が大きいほど広い面積から光を集められます。中央の遮りや光の損失が同じ割合で、円形の入口を比較する模型なら、集める光量は口径の二乗に比例します。倍率の式とは別です。
口径二倍なら面積は四倍です。しかし、同じ焦点距離と接眼レンズを使うなら角倍率は変わりません。「光を集める力が大きい」と「高い倍率で見る」は、関係はあっても同一の量ではありません。仕様表の異なる列を一つにまとめないことが重要です。
例題2：倍率と集光量を別々に比べる
望遠鏡Aは口径60mm、対物の焦点距離600mm、Bは口径90mm、対物の焦点距離600mmです。どちらも焦点距離20mmの接眼レンズを付けます。同じ光の透過率で遮りはないとして、倍率と、入口で集める光量のB対Aの比を求めなさい。
答え・解説： 倍率はどちらも600÷20＝30倍です。口径の比は90÷60＝1.5なので、集光量は1.5×1.5＝2.25倍です。Bは同じ倍率で、入口へ受け入れる光量がAの2.25倍になる模型です。
ここで「像の直径が2.25倍」と答えると、光量と角倍率を取り違えています。また、実際に目へ届く光には損失や目の瞳孔などの条件が関わります。今回は入口で集める量を比較しており、見え方全体を一つの倍率で表しているわけではありません。
高倍率にすれば細部は無限に見えるか
倍率を上げても、対物レンズや大気によって分けられなかった細部が、無限に新しく現れるわけではありません。ぼやけた像を大きくしているだけになることもあります。暗さや揺れが気になる場合もあるので、倍率の数字だけで観測の質を評価しないようにします。
これは機種選びの順位表ではなく、理科の資料を読むための区別です。計算できる値と、それだけでは決まらない見え方を分けます。視野の広さにも接眼レンズの設計が関わるため、倍率が同じなら見える範囲も絶対に同じとは言い切れません。
数字を、光の通り道へ戻す
図の天体側へ対物の焦点距離、目の側へ接眼の焦点距離を書き、口径は入口の幅として別に示します。計算が終わったら、対物を変えたのか接眼を変えたのかを言葉で説明します。二枚のレンズの役割を分けることが、倍率の式を丸暗記で終わらせない方法です。
なお、望遠鏡や双眼鏡で太陽を直接のぞいてはいけません。強い光が集まり目を傷める危険があるため、この記事の計算を太陽の観察実験へ転用しないでください。例題は、機器の仕様として与えられた数値を読み解くためのものです。