中学受験理科｜金属棒の途中の温度｜熱が流れていても温度は一定になる

金属棒の左端を80℃、右端を20℃に保つと、途中の温度はどうなるでしょうか。十分に時間がたち、各場所の温度が変わらなくなったとします。「温度が変わらないから、熱はもう流れていない」と考えると、ここで間違えます。

熱が入ってくる量と出ていく量が等しければ、その場所の温度は一定でも熱は通り抜けています。中学入試の資料問題では、このような状態の条件を文章で与え、棒の長さや途中の温度を比べさせることがあります。熱の流れと、温度の時間変化を分けて読みましょう。

今回の棒の条件

棒は同じ材料からできていて、太さも一様とします。横の面から周囲へ逃げる熱はなく、途中に熱源もありません。両端の温度を一定に保ち、どの場所も温度が時間とともに変わらなくなった状態を考えます。

この状態を定常状態といいます。最初に温め始めた直後とは違います。初めは棒の一部分に熱がたまり、温度が上がっている途中なので、どの断面を通る熱も同じと決められません。「十分時間がたった」「温度が一定になった」といった記述が、計算の条件になります。

例題2。接合部と側面からの熱の損失は無視し、両端の温度を外から保つ模型です。

同じ材料・同じ太さの棒を、同じ時間に同じ熱量が通る場合、区間の両端の温度差は、その区間の長さに比例するとします。これは一様な棒の定常的な熱伝導を読むための関係です。ここではこのルールを問題の条件として使います。

棒の長さが30cmで、端から端まで60℃の差があれば、10cmごとの差は20℃です。左端から10cmの点は60℃、20cmの点は40℃となります。左から80・60・40・20と等しい間隔で下がりますが、これは一様な材料などの条件がそろっているからです。

温度の数字そのものを長さに比例させるのではありません。使うのは両端の差です。80℃を三等分して途中の温度を求めると、右端が20℃である条件を使わないことになってしまいます。まず「全体で何℃下がるか」を計算してください。

長さ30cmの一様な金属棒の左端を80℃、右端を20℃に保ちます。横から熱は逃げず、定常状態になっています。左端から10cmの位置の温度を求めなさい。温度差は区間の長さに比例するものとします。

答え・解説： 全体の温度差は80－20＝60℃。10cmは30cmの3分の1なので、その区間の差は60÷3＝20℃です。左端から下がるため、80－20＝60℃となります。20℃という途中の計算結果を、その地点の温度として答えないようにします。

右端から考えても確認できます。求める点は右端から20cmなので、右端より60×20÷30＝40℃高く、20＋40＝60℃です。どちらの端からたどっても同じ値になります。

二種類の棒をつないだ場合は、熱の伝わりやすさも考えます。同じ長さ・太さ・温度差なら、材料Aは材料Bの2倍の熱を同じ時間に通す、と条件が与えられたとします。

二本を直列につなぎ、定常状態になると、つなぎ目に熱が増え続けたり減り続けたりしないので、Aを通る熱量とBを通る熱量は等しくなります。Aが熱を通しやすい分、Aに必要な温度差はBの半分で済みます。つなぎ目がいつも二つの端の平均温度とは限りません。

同じ長さ・同じ太さの棒AとBを隙間なくつなぎます。同じ温度差ならAはBの2倍の熱を通す性質があります。A側の端を80℃、B側の端を20℃に保ち、横への熱の出入りと接合部分の抵抗は無視します。定常状態でのつなぎ目の温度を求めなさい。

答え・解説： 同じ熱量を通すために、Aの温度差：Bの温度差＝1：2となります。全体の差60℃を三つ分に分けると、Aで20℃、Bで40℃下がります。つなぎ目は80－20＝60℃です。B側からも20＋40＝60℃と確認できます。

平均の50℃にしてしまうと、同じ長さの二本に同じ30℃の差がかかります。その場合Aから流れ込む熱がBから出る熱より多くなり、つなぎ目の温度が変化してしまいます。定常状態という条件に合わないので、平均ではないと判断できます。

両端も周囲も同じ温度になり、温度差がなくなった場合は、この模型では一方向の正味の熱流はなくなります。一方、80℃と20℃を外から保っている今回の棒には、温度差が残ります。時間的に変わらないことと、場所による差がないことを同じ意味にしないでください。

図を読むときは、横軸が「時間」なのか「棒の位置」なのかにも注目します。同じ右下がりの線でも、時間に対する冷却と、位置に対する温度分布では意味が異なります。両端の温度、棒の材質と太さ、横から逃げる熱の有無をそろえてから、区間ごとの温度差を配分しましょう。