中学受験理科｜地層で速さが変わる地震波｜区間ごとの時間を足す

地震波が進む速さは、通る物質によって変わります。地下を一つの速さで進む問題に慣れていると、二種類の層が出てきても全距離を一つの速さで割りたくなります。そこで一度、道を区切って、各区間に何秒かかるかを別々に求めます。

この原稿では、波の通り道が図で指定された模型を扱います。実際には境界で波が曲がったり反射したりしますが、その経路を自分で決定する問題ではありません。図に与えられた長さが、地表の水平距離なのか、波が実際に通る区間の長さなのかを確かめてから計算します。

足すのは速さではなく時間

第一の層で6km進み、毎秒3kmなら2秒。第二の層で12km進み、毎秒6kmなら2秒。合計時間は4秒です。速さの3と6を足して9にする意味はありません。波が各区間を順番に通るので、待ち時間を足すように所要時間を足します。

全体の平均速度が必要なら、最後に全距離を合計時間で割ります。層ごとの速度の単純平均が使えるとは限りません。どの区間をどれだけ長く通ったかによって、全体の所要時間が変わるためです。

例題2の経路を横に並べた図。実際の屈折角や地下構造を表したものではありません。

通る順番を逆にしても、同じ区間なら合計時間は同じ

区間ごとの速さが与えられた地震波の模型では、時間を足す順番を変えても合計は変わりません。大切なのは、各速度の層を何km通るかです。『先に遅い層を通るから必ず遅れて到着する』という直感だけで比べず、どの距離と速さが組になっているかを確認します。ここでは経路が指定され、波の屈折による経路の変更を考えない条件に限ります。

Aは毎秒3kmの部分を9km、その後毎秒6kmの部分を12km進みます。時間は3秒と2秒で、合計5秒です。Bは同じ二つの区間を逆順に進む設定なら、2秒と3秒でやはり5秒です。一方、Cが毎秒3kmの部分を12km、毎秒6kmの部分を9km進むなら、4秒と1.5秒で5.5秒になります。全距離はどれも21kmでも、遅い層を長く通るCは時間がかかります。

AとBで一致した理由を『地震波ならどの経路でも時間が同じ』と広げてはいけません。距離と速さの組が同じだから一致したのです。表では、順番の列を入れ替えただけか、各速度で進む距離まで入れ替えたかを見分けます。物理の計算に見える問題でも、数値を対応する条件から切り離さない読み方が、解答の根拠になります。

例題1　二層を通る所要時間

地震波が、速度毎秒3kmの層を6km、続いて毎秒6kmの層を12km進む指定経路を通りました。全体の時間と平均速度を求めてください。

答え・解説： 時間は4秒、平均速度は毎秒4.5kmです。6÷3＋12÷6＝2＋2＝4秒、全距離18kmを4で割ります。この例では偶然、速度3と6の単純平均も4.5になりますが、二層で過ごす時間が同じだからです。いつでも単純平均でよいという根拠にはなりません。

同じ距離なら遅い区間の時間が長い

二つの層を同じ距離だけ通る場合、遅い層に長い時間とどまります。したがって、全体の平均速度は速さの単純平均より遅い側に寄ります。式を作る前にこの見通しを持っておくと、答えが速い層の速度を超えていないかなどを確認できます。

例題2　同じ距離ずつ通る場合

毎秒3kmの層を12km、毎秒6kmの層も12km通りました。全体の時間と平均速度を求めてください。もし全距離を毎秒4.5kmで割ったら、正しい時間より長くなりますか、短くなりますか。

答え・解説： 時間は6秒、平均速度は毎秒4kmです。12÷3＋12÷6＝4＋2＝6秒。24÷6＝4です。単純平均4.5で割ると24÷4.5＝16/3秒、約5.33秒となり、正しい6秒より短くなります。遅い層を通る時間が長いことを、単純平均では反映できていません。

到着時刻から発生時刻を戻す

観測点への到着時刻がわかれば、求めた全所要時間を引くことで、模型上の発生時刻を逆算できます。このときも、二つの層の時間を合わせてから引きます。時刻を秒の数と混ぜず、例えば10時00分08秒から6秒引く、と具体的に書けば、分の境目での間違いを防げます。

ただし、P波とS波は同じ種類の波ではありません。問題に二種類の速度表があるなら、P波の区間速度とS波の区間速度を混ぜて一つの経路時間を作らないようにします。一つの波について全区間を計算し、別の波は別に計算してから到着時刻の差を求めます。

実際の地下構造を調べる際は、複数の場所で測った到着時間を手掛かりにします。一つの時間だけから、全ての層の厚さと速さが一意に決まるわけではありません。例題は経路長と速度が既知なので計算できるのであり、未知の条件がいくつもある観測へ、そのまま答えを広げないでください。

図の斜めの線に12kmと書かれているなら、その経路長を使います。地表の横幅12kmを、斜めの道のり12kmとみなすのは別の仮定です。どの線に数字が付いているかを指で追うことが、地下の図では特に役立ちます。

速度が変わる問題では、全体を急いで一つにまとめず、区間表を作ります。距離、速度、時間の三列を埋めて最後に時間を足す。この順番なら、層が三つ以上に増えても考え方は変わりません。

どの条件を変えれば時間が縮むか

経路が同じなら、一つの層の速度を大きくすると、その区間の時間だけが短くなります。全体の速度まで同じ倍率で増えるわけではありません。変えなかった層の所要時間が残るからです。全体を短くする効果を比べる際は、どの区間が元の時間の多くを占めていたかも手掛かりになります。

層の境界位置が変わる場合には、一方の区間が長くなると同時に他方が短くなることがあります。片方の距離だけを変更して、全距離まで勝手に増やさないようにします。図にある固定された始点と終点、動いた境界を別々の印で示すと、変更後の二つの距離を正しく作れます。