砂を詰めた筒に水を通し、出てくる量を量りました。水位差が同じなら、どの筒でも同じ流量になるでしょうか。筒の断面が広い場合と、砂を通り抜ける道のりが長い場合では、条件が異なります。
地下水がどちらへ流れるかを考えるときは水頭の差が手掛かりになります。今回は、方向に加えて何cm³毎秒流れるかを、模型実験の規則から計算します。中学入試の資料問題として式を与えるので、専門用語の暗記より、各部分の役割を図で対応させましょう。
水位差を道のりで割る
砂の筒の両端につないだ細管の水面の高さの差を、水頭差として読みます。同じ基準面から測った二つの水位の差です。その差を、砂の中を通る筒の長さで割ると、長さあたりにどれだけ水頭が下がるかが分かります。
水頭差10cmでも、長さ20cmの筒と40cmの筒では比が違います。前者は10÷20＝0.5、後者は10÷40＝0.25です。水位差だけを比較して「同じ押す条件」と結論づけると、道のりの違いを見落とします。
流量を決める三つの要素
水で満たされた砂の中をゆっくり流れる条件で、「流量＝水の通りやすさの値×断面積×水頭差÷筒の長さ」という規則を使います。砂の性質と水の条件をまとめた通りやすさの値を、ここではcm毎秒で与えます。
断面積が二倍なら並んで通れる範囲が二倍になり、同じ条件の流量は二倍です。筒の長さが二倍なら、水頭差を一定にした場合の流量は半分です。二つを同時に変えると相殺する場合もあります。実験の比較表では、変えた項目を一列ずつ追います。
例題1：筒から出る水を計算する
通りやすさの値は0.20cm毎秒、筒の断面積は10cm²、砂を通る長さは20cm、水頭差は10cmです。上の規則が成り立つとき、一秒間に出る水の体積と、一分間の体積を求めましょう。
答え・解説： 流量は0.20×10×10÷20＝1.0cm³毎秒です。一分では60cm³です。水頭差と筒の長さがどちらもcmなので、その比に単位は残りません。cm毎秒とcm²を掛けてcm³毎秒になることも確認できます。
0.20cm毎秒をそのまま水の粒が進む速さと読むのは避けます。今回の係数は砂と水の通しやすさを表す値であり、実際に水が通るすき間の面積や曲がった道のりを直接示してはいないからです。
例題2：二つの条件が変わる
例題1と同じ砂と水を使い、断面積を二倍、筒の長さを二倍にしました。水頭差は同じです。新しい流量はいくらですか。さらに水頭差まで二倍にした場合も答えましょう。
答え・解説： 面積の二倍と長さによる二分の一が相殺し、最初は1.0cm³毎秒のままです。水頭差も二倍なら2.0cm³毎秒です。「筒が大きくなった」という一言では、面積と長さのどちらをどう変えたか分かりません。寸法を分けて読む必要があります。
同じ体積の砂を使うという条件とは異なります。今回、面積も長さも二倍なら、砂の入る全体の体積は四倍です。体積一定の別問題へ、この結論をそのまま移さないようにします。
地下水の平均的な流れとすき間の流れ
筒の断面全部が水の通り道ではありません。砂粒がある部分を除いたすき間を水が進みます。流量を筒全体の断面積で割った値と、水がすき間で進む平均速度は区別が必要です。さらに粒の周囲を回り込むので、実際の通路も一直線ではありません。
水面が下がって筒の一部に空気が入れば、水で満たされた条件も変わります。強く押して速く流す場合や、砂が流されて詰まり方が変わる場合も、同じ係数をそのまま使えるとは限りません。模型の成立条件を確認することが、自然の地下水を考える出発点です。
表を読み終えたら、流量が増えた理由を「水位が高いから」だけで済ませず、水頭差、道のり、面積、砂の性質のどれが変わったかを答えましょう。矢印の向きと、単位時間に通る量を別々に整理できると、地下水の図が具体的になります。
同じ砂でも詰め方をそろえる
粒の種類が同じでも、密に詰めた筒とゆるく詰めた筒では、すき間のつながり方が違います。実験で係数を比較するなら、砂の質量だけでなく、詰めた体積や締め固め方も記録します。粒の径を調べたい実験で、詰め方までばらばらにすると原因が絞れなくなります。
水頭差を保つための水槽が小さければ、流れるうちに水位が下がってしまうこともあります。その場合、初めの水位差だけで長時間の排水量を計算するのは不適切です。一定差を保った装置なのか、時刻ごとに水位を読み直す装置なのかを、図の給水口や水槽の説明から確かめます。式の数値が固定かどうかも、実験装置の読み取りに含まれます。
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