北へ旅行すると、北極星が高く見えるといいます。この「高い」は、地上から何メートルという距離ではなく、地平線から見上げる角度です。中学入試では、北極星の高度と緯度の関係を使う問題に、山や建物が描かれていることがあります。どの線を角度の基準にしたかが、答えを左右します。
天の北極の高さと、北半球の緯度
地球の自転軸を北へ延ばした方向を天の北極と呼びます。北半球では、理想的な地平線から測った天の北極の高度が、その場所の北緯に等しくなります。北極点なら真上の九十度、赤道上なら地平線の零度です。二つの極端な場所を考えると、北へ行くほど高くなる向きを確認できます。
北極星は天の北極のすぐ近くにあるため、入試の基本問題では天の北極の位置にあるものとして近似することがあります。実際にはぴったり同じ位置ではなく、小さく日周運動をしています。ここではその違いや大気による光の曲がりを無視する、と指定して計算します。
山の稜線は地平線の代わりにならない
北の山が地平線より八度高いところまで見えているとします。北極星が山の上端から二十七度上に見えていても、高度は二十七度ではありません。地平線から山の上端までの八度を足し、地平線から星までの角度に直します。観察者の真上を基準にした角度なら、今度は九十度から引くことになります。
図の中で、地平線、山の上端、星へ向かう線を別々に引くと、足すのか引くのかが分かります。角度の数字を見つけた順に式へ入れるのではなく、その数字の両側がどの線かを確かめます。
例題1｜山の上から測った角度
北の山の上端は、地平線から8度の高さです。北極星はその上端より27度上に見えました。北極星を天の北極と同じ位置にあるとし、大気の影響を無視すると、この地点の北緯は何度ですか。
答え・解説： 地平線から星までの高度は8＋27＝35度です。天の北極の高度が北緯に等しい模型なので、北緯35度です。27度は山を基準にした角度であり、緯度を直接示していません。
例題2｜二地点の緯度差と距離
同じ経度の二地点A、Bで、北極星の高度がそれぞれ32度、37度でした。緯度1度あたりの南北方向の距離を111kmとする模型で、BはAのどちらへ何km離れていますか。
答え・解説： Bの方が高度が5度高いので、北へ5×111＝555kmです。ここでは同じ経度と指定されているため、南北の距離として計算できます。経度が違う二地点なら、緯度差だけで二地点間の全距離を求められるわけではありません。
時刻の問題と、場所の問題を分ける
北の空の星は時間とともに天の北極の周りを回るように見えますが、天の北極そのものの高度は、同じ観察地点では基本的に変わりません。北斗七星が高く見えたから観察地の緯度が変わった、とは考えません。回る星の位置と回転の中心を分けて見ます。
一方、北極星自体も完全な中心ではないため、厳密な測量では位置の補正が必要です。基本の入試模型で得た三十五度を、現実の一回の目測から小数点以下まで保証された測定値へ置き換えないようにします。模型の条件と観測の精度を区別するということです。
経度は、北極星の高度だけからは決められません。同じ北緯の地点は東西に多数あります。北極星の高さが等しい二地点を、同じ場所だと判断しないことが大切です。場所を特定するには、時刻など別の情報が必要になります。
また、太陽の南中高度の式をそのまま北極星へ使わないようにします。太陽は季節で天球上の位置が変わるため、緯度と季節を組み合わせます。今回の中心は地軸の延長方向です。「天体の高さ」という共通語だけで、別の規則を混ぜないことが解き分けの鍵です。
地球の断面図を使うなら、観察地点での鉛直方向と地平面が直角になること、地軸の方向が共通であることを確かめます。暗記した「高度と緯度は同じ」を使った後でも、北極と赤道で式が合うかを試すと、九十度との取り違えを検出できます。
角度の単位と地上の距離を分ける
高度が五度違うことは、星までの距離が五キロ違うという意味ではありません。観察地点での見上げる方向が変わったという情報です。例題2では地上の緯度差と距離の換算を別に与えたので、五百五十五キロを計算できました。換算条件がなければ角度を勝手に距離へ置き換えません。
図に天頂から星までの角度が示された場合、地平線から天頂までが九十度なので、引き算で高度へ直します。山の上端からの角度を足した例題1とは基準が違います。問題の数字が同じでも、挟んでいる二本の線が違えば演算も変わります。
観測場所が南半球だと、今回の北の空の図をそのまま使えません。北極星を利用する基本模型がどの地域の話なのかを確認することも、公式を正しく適用する条件に含まれます。
地平線が見えない場所では、水平を確かめる器具など別の基準が必要になります。近くの塀の上が水平に見えるという印象だけで測ると、基準の傾きまで星の高度へ含めてしまいます。角度の観察では、最初の零度をどう定めたかも記録の一部です。