中学受験理科｜毛細管で上がった水の量｜高い水柱ほど多いとは限らない

細い管ほど水が高く上がるなら、細い管の方がたくさん水を持ち上げているのでしょうか。高さを見てすぐに量の大小を決めたくなりますが、水柱の太さが違います。細長いコップと平たい皿を、深さだけで比べないのと同じです。

毛細管現象の基本記事では、同じ条件で管が細いほど水面が高くなることを扱いました。今回は一歩進めて、外の水面より上へ持ち上がった水の体積を比べます。「高さ」と「量」が逆の順位になる場面を、円の面積と掛け算で読み解きます。

上がった部分だけを円柱とみなす

同じぬれやすい材質で作られた、長くまっすぐな円管を使います。液体や温度、ぬれ方をそろえ、十分時間がたった状態を比較します。水面の曲がりによる小さな体積差は無視し、外の水面より上の部分を円柱として扱います。

体積は断面積×上昇高さです。水中に沈めた管の部分は、今回求める「上へ持ち上がった量」に入れません。管の下端から上端の水面までの長さを高さにしてしまうと、沈め方で答えが変わる別の量を求めてしまいます。

資料で、上昇高さは内側の半径に反比例すると指定します。半径が二倍なら高さは半分。その一方、円形の断面積は半径の二乗に比例するため四倍です。四倍の断面積に半分の高さを掛けると、体積は二倍になります。

例題1。円柱の側面を表す模式図。外の水面より上の水だけを比べます。

理想模型では、半径を半分にした管は高さが二倍になりますが、断面積は四分の一です。水の体積は四分の一×二＝二分の一。高く届くことと、一つの管に保持する量の多さは、同じ性質ではありません。

図では二本の管の水面を外の水面にそろえ、上がった部分だけを色で塗ります。上端の位置だけに丸を付けるのではなく、色の付いた領域全体を見ると、体積を問われていることが意識できます。高さの比をそのまま体積の比にしないための下準備です。

管Aの内側の半径を1としたとき、管Bの半径は2です。Aの上昇高さは8cmでした。同じ条件で上昇高さ×半径が一定になるとします。Bの高さと、Bに上がった水の体積がAの何倍かを答えてください。

答え・解説： Bの高さは4cm、体積はAの二倍です。高さは8÷2＝4、面積比は2×2＝4なので、体積比は4×1/2＝2になります。半径の実際の単位や円周率が分からなくても、比だけなら共通する部分が消えるため計算できます。

「Bは4cmしか上がらないから少ない」という説明では、断面積四倍が抜けています。一方、「太さ二倍だから量も二倍」という答えは数値が合っても理由が不足です。面積四倍と高さ半分を経て二倍になる、と途中を言葉にしましょう。

同じAの管を二本使えば、各管へ上がる量を足せます。ただし外側の水量が十分多く、管同士の影響や水面低下を無視できる条件です。細い管を何本も束ねた場合、一本あたりの量と束全体の量を分けて考えます。

「隙間なく同じ外枠に入る」という条件は、管の壁の厚さや並べ方にも左右されます。本稿の本数は問題で指定された本数をそのまま使い、面積比だけから実際に詰められる本数を決めません。

例題1のAを四本使う組と、Bを一本使う組を比べます。各管は十分に長く、水面が上端へ達しません。持ち上がった水の合計体積は、どちらが何倍ですか。

答え・解説： A四本の組がB一本の二倍です。A一本の体積を1と置けば、A四本は4、B一本は2。4÷2＝2です。Aの方が一本では少なくても、本数を掛けた合計では逆転します。比較する対象を「一本」から「組全体」へ移した点が要所です。

持ち上がった体積が二倍と求まっても、そこへ達する時間や、一秒間に通せる水の量は分かりません。この計算は落ち着いた後のつり合いの比較です。通路の抵抗や液体の粘りを含む運動の資料は、別に必要になります。

実物の土や植物の細いすき間を、同じ太さの円管だけで置き換えるのも限界があります。曲がり、枝分かれ、蒸発などが加わるからです。入試で使う模型は現実を全部描く図ではなく、指定された量の関係を取り出す図。高さ、断面積、本数の三つを別々に書けば、どの条件を使った答えなのかも明確になります。