高い運河と低い運河の間を船が移るとき、船をクレーンで持ち上げるとは限りません。閘門では二つの門で囲んだ部屋の水位を変え、浮いている船を水面と一緒に上下させます。中学入試の計算では、船の重さだけを見ず、どの区間へ水を入れるのか、どの高さまで上げるのかを整理します。
水位をそろえてから門を開ける
低い側から船が入る場合、まず部屋の水位を低い運河に合わせ、低い側の門を開きます。船が入ったら門を閉じ、高い側から水を取り入れます。部屋の水位が高い運河とそろってから高い側の門を開け、船が出ます。両側の大きな門を同時に開いて川のように流す方式ではありません。
門を閉じていても、給排水用の通路を操作して水を移せます。図で門と水の通路を同じものと考えると、「門が閉まっているから水も絶対に入らない」という誤りになります。船の通り道と水の通り道を別に描いておきましょう。門の両側の水位が違う間は水圧の差があることも、順序を考える理由になります。
船が浮いたまま上がる意味
船が荷物を落とさず、水へ浸かる体積も変わらない模型なら、水位が上がっても船が押しのける水量は同じです。船体が水面からどれだけ出るかは同じまま、底からの高さが変わります。水位が二倍になったから浮力も二倍になる、と考える必要はありません。浮いて静止する船では、浮力は船全体の重さとつり合っています。
給水量を考えるとき、底の面積に水位の上昇分を掛けるのは、船が水面に合わせて浮き上がり、排水体積が前後で変わらないからです。もし船が底に接していたり、途中で荷物を積み込んだりするなら、条件を改める必要があります。いつでも船の分を引く、あるいはいつでも無視するという覚え方ではありません。
例題1 一回の給水量
底が長さ20m、幅5mの直方体の部屋があります。水位を2m上げるために必要な水の体積を求めなさい。船は前後とも浮き、排水体積は変わらず、漏水と壁の傾きを無視します。
答え・解説： 底面積は20×5＝100平方m。水量の増加は100×2＝200立方mです。船があるから、その重さに相当する水量を200からもう一度引くのではありません。初めと終わりで同じ排水体積が差し引かれるため、差を取ると消えます。
例題2 流量と所要時間
例題1の部屋へ毎秒2.5立方mの一定の割合で給水するとします。水位を2m上げる時間は何秒ですか。また、給水を始めて40秒後の水位上昇は何mですか。
答え・解説： 全体の時間は200÷2.5＝80秒です。40秒で入る水は100立方mなので、水位は100÷100＝1m上がります。現実の流量は水位差によって変わる場合がありますが、この問いでは一定と指定しています。実物にそのまま80秒を当てはめる計算ではありません。
船を上下させても水は循環しない
一回の通航で高い側の水が低い側へ移ります。上りの船と下りの船が同じ数なら、水も自動的に元の高い側へ戻ると考えないようにします。どの操作で水がどちらへ出入りするのかを、一回ずつ書けば確認できます。実際には水を節約するための槽などを備える方式もありますが、それは別の通り道として図へ追加する必要があります。
水位を上げる途中を等間隔に撮影すれば、模型の一定流量と一致するか調べられます。最初は速く、後半はゆっくり上がる記録なら、平均流量は求められても、各瞬間の流量が同じとはいえません。一定を仮定した計算と、観測された変化を説明する問いを分けることが、装置の文章題を読み解く助けになります。
水の体積を前後で式にする
船が押しのける水の体積を仮に十立方メートルとします。底面積が百平方メートルで、初めの水深が三メートルなら、部屋にある水は三百から十を引いた二百九十立方メートルです。水深を五メートルへ上げた後は、五百から十を引いた四百九十立方メートルになります。後から前を引けば二百立方メートルで、船の分を二度引く必要がないことが数字でも分かります。
この計算でいう水深は、船底から水面までの長さではなく、部屋の底から水面までの長さです。船の沈み具合は同じでも、部屋の水深は増えます。図の縦の矢印がどの二点を結ぶかを確かめるだけで、同じ「深さ」という言葉による混乱を防げます。
下りの船についても操作の順序を逆からたどれます。高い側に合わせて船を入れ、両門を閉じた状態で低い側へ排水し、低い側と水位がそろってから出口を開きます。上りの船を動かしたときに使った水が、下りの船の重さで押し戻されるという仕組みではありません。船は水面に浮いて上下するので、船の移動と水の供給方向を別の矢印で示すと明瞭です。
もし部屋の壁が上へ広がっている図なら、底面積を一定として掛け算する方法は使えません。水位が高くなるほど同じ高さ分に必要な水量が増えるからです。直方体という条件を読み落とさず、装置の名前だけで式を選ばないようにします。図の形、船の状態、給水の割合という三つの条件を確認してから計算を始めましょう。