油の層と水の層に、同じ物体がまたがっています。浮力を求めるとき、物体の体積に水の密度を掛ければよいでしょうか。油の中にある部分は油を、水の中にある部分は水を押しのけます。押しのけた体積を液体ごとに分けるところから始めます。
中学入試の浮力では、何gの重さに相当する力かという表示を使うことがあります。本稿も浮力をg相当で表し、液体の密度は1cm³あたりの重さで示します。重さと力の単位を混同しないように、答えには「相当」を付けます。
二つの層を、一つの密度へまとめない
水の密度を1g/cm³、油を0.8g/cm³とします。油中に30cm³、水中に70cm³の部分があれば、押しのける油は24g、水は70gです。合計94g相当の浮力になります。物体全体100cm³に水の密度を掛けた100g相当とは異なります。
油と水の密度を足して2で割る方法も、そのままでは使えません。各液体に入っている体積が同じとは限らないからです。平均を使うとしても体積による重み付けが必要で、最初は二つの重さを別々に出す方が整理しやすくなります。
ここでは油と水が混ざらず静止し、物体は容器の底や壁に触れないとします。表面張力や空気から受ける浮力は無視します。層の境目が物体のどこを横切るかを図で確かめ、入っている部分の体積を読み取ります。
境目より下へ移すと、どれだけ増える？
全体の体積を保って、油に入っていた10cm³の部分を水へ移したと考えます。その部分が押しのける液体は、油8gから水10gへ変わります。浮力は2g相当増えます。全体の浮力を初めから全部計算し直さなくても、入れ替わった部分の差で求められます。
ただし、これは物体が両方の液体の中にあり、油から出た分と水へ入った分が同じという条件での比較です。空気中から新たに沈める場面なら、油から水への入れ替わりとは別です。
一定の断面積の柱なら、境目を1cm越えるとどれだけの体積が移るかは、断面積×1cmで分かります。形が途中で太くなる物体では、深さに対して浮力がいつも同じ割合で増えるとは限りません。
つり合って止まるときは、全重量と比べる
糸を付けずに物体が静止するなら、浮力と物体の重力がつり合います。例えば体積100cm³、重さ90gの物体なら、油だけに全部入ったときの浮力80g相当では足りません。水だけなら最大100g相当です。その間の状態として、二層の境目でつり合う配置が考えられます。
水中の部分を増やすほど浮力は大きくなります。油中50cm³、水中50cm³なら40＋50＝90g相当で、重さ90gに対応します。浮力が90という答えだけでなく、どの体積の分担なら成立するかまでつなぎます。
例題1：ばねばかりの読みを求める
重さ150g、体積100cm³の物体を糸でつり、油の中へ40cm³、水の中へ60cm³入れました。油の密度は0.8g/cm³、水は1g/cm³です。物体は静止し、底には触れていません。浮力とばねばかりの読みを求めましょう。
答え・解説： 浮力92g相当、読み58g相当です。油が40×0.8＝32g、水が60×1＝60gで、押しのけた液体は合計92g。上向きの浮力と糸の力の合計が150なので、糸は150−92＝58g相当で支えます。
二層にまたがるからといって浮力を二回全体積へ掛けると、同じ場所を重複して数えます。40＋60が100cm³へ戻るか、計算の前に一度確かめてください。
例題2：水中の体積を逆算する
体積200cm³、重さ180gの物体が、同じ油と水の境目で静止しています。物体は全体が二つの液体の中にあり、外から支えられていません。水中にある体積は何cm³でしょうか。
答え・解説： 100cm³です。全部が油中なら浮力は200×0.8＝160g相当。つり合うにはあと20g相当必要です。1cm³を油から水へ移すごとに1−0.8＝0.2g相当増えるので、20÷0.2＝100cm³を水中へ入れます。
残る油中100cm³から80g相当、水中100cm³から100g相当、合計180で検算できます。逆算した水中体積が0未満や200より大きければ、設定した二層内のつり合いは成立していません。
液体の名前より、密度と体積へ戻る
実際の油の密度は種類や温度によって異なります。例題の0.8をどの油にも当てはめず、問題に与えられた値を使います。水と油の上下関係を覚えることだけで終わらず、押しのけた液体の重さという共通の基準へ戻るのが、この問題の要点です。