ボールを床へ落とすと、最初より低い高さまではね返ります。ここで「半分の高さだから、速さも半分」としてしまうと、資料問題の答えがずれます。高さの割合と速さの割合には、同じ数字を入れられないことがあるのです。
中学入試で初めて見る規則が示されたときは、名前を知っているかより、何と何を結ぶ規則なのかを読みます。この記事では、空気抵抗を無視でき、静止した床へ真下に落とす球を考えます。高さは床に触れたときの球の中心を基準にした、中心の上がり幅です。床から球の上端までを測った数字ではありません。
高さの比は、速さの比を二回掛ける
次の規則が問題文に与えられたとします。「床から離れた直後の速さが、床に当たる直前の速さのr倍なら、はね返る高さは落とした高さのr×r倍になる」。rが0.8なら、高さは0.64倍です。ここではこの規則を用い、導き方や専門用語を暗記する必要はありません。
試しに、速度の割合を半分にすると、高さは0.5×0.5で四分の一になります。二乗という言葉に身構えるより、同じ割合を二回掛ける、と書く方が対応を見失いません。逆向きには、高さの比が0.81なら、二回掛けて0.81になる0.9を探します。0.81をさらに二乗するのではありません。
二回目は、最初の高さから直接引かない
高さが毎回0.64倍になる模型なら、一回目の頂点が二回目の落下の出発点です。200cmから128cmへ、さらに81.92cmへと進みます。72cmずつ下がるわけではありません。減る量ではなく、残る割合が決まっている点を確認しましょう。
表を作るなら「落とす前」「一回目の頂点」「二回目の頂点」と欄を分けます。一回目に床へ当たるまでの落下を、一回のはね返りとして数えないようにします。問題の「三回目」が接触回数か頂点の番号か、文と図でそろえることも大切です。
高さが減った分は、どこへ行ったのか
衝突では球と床が変形し、音や熱などへエネルギーが移ります。球の運動と高さに対応するエネルギーだけを見ると減っていますが、エネルギーそのものが消滅した、と説明するのは不正確です。同じ球なら、高さの減少割合は、この単純な条件で力学的エネルギーが減った割合にも対応します。
一方、球の大きさや材質を変えた場合、同じrを使い続ける根拠はありません。床の硬さや落とす速さによって、反発の様子が変わる場合があります。「毎回一定」という条件は計算のためのモデルです。実測した四回の頂点が少しずれたからといって、ただちに測り方が間違っているとは決められません。
例題1｜80％の速さではね返った球
200cmの高さから静かに落とした球が、床に当たる直前の80％の速さで上向きにはね返りました。上の規則を使うと、一回目の頂点は何cmですか。その頂点から再び落ち、同じ割合で反発したとき、二回目は何cmですか。
答え・解説： 高さの倍率は0.8×0.8＝0.64です。一回目は200×0.64＝128cm、二回目は128×0.64＝81.92cmです。200×0.8＝160cmとした答えは、速さと高さの倍率を混同しています。図の二本の高さを比べるときも、途中で基準を変えないようにします。
例題2｜高さから速さの割合を戻す
100cmから落とした球が81cmまではね返りました。衝突直後の速さは直前の何％ですか。また、同じ条件で球の力学的エネルギーが減った割合は何％ですか。
答え・解説： 高さの比は81÷100＝0.81です。0.9×0.9＝0.81より、速さは90％です。力学的エネルギーは高さに比例するので、残った割合は81％、減った割合は19％です。速さが10％減ったことを、エネルギーも10％減ったと読み替えてはいけません。
実験の写真では、球のどこを読むか
中心の位置を追うなら、どの写真でも中心でそろえます。落下前だけ球の上端、はね返り後だけ下端を使えば、球の直径が余分に加減されます。床との接触時にも中心は床から半径分上にあるため、その位置を高さゼロとする説明を先に確かめます。
また、最高点の前後の写真しかなければ、写った中で一番高い位置が本当の最高点とは限りません。撮影間隔や目盛りの粗さによる読み取り幅を残すのが自然です。計算上81.92cmでも、写真が1cm刻みなら、その精度で実測できたとは書けません。モデルの値と、観察から読める桁数を最後に区別してください。
回数と移動した全距離を分ける
一回目の頂点までに球が動いた距離を問われたら、落下200cmとはね上がり128cmの両方を数え、328cmです。高さ128cmという答えは、到達した位置についてのものです。二回目の頂点までなら、さらに128cmの下降と81.92cmの上昇が加わります。上向きと下向きの距離を相殺すると、実際に動いた道のりにはなりません。最初と最後の位置の差、頂点の高さ、途中の移動距離は、同じ図から求める別々の量です。ノートには頂点だけを並べる表と、矢印一本ずつの道のりを書いた図を使い分けましょう。