容器へ一定の速さで水を入れているのに、出口からは水がずっと同じように出ず、しばらく待つと一気に流れます。水が減ると排水が止まり、またたまり始めます。自動サイホンを利用する装置では、このような給水と排水の周期を作れます。中学入試の資料問題では、管の形を暗記するより、どの水位で排水が始まり、どの水位で止まるかを読み取りましょう。
ここで扱うのは作動条件を与えた計算模型です。実際の装置では管の太さや空気の入り方などによって動作が変わるので、同じ寸法なら必ずこの周期になるという設計案ではありません。通常のサイホンの流れる向きについては関連記事で確認し、今回は時間によって切り替わる二つの状態を追います。
高い水位で始まり、低い水位で止まる
自動排水には、サイホンが働き始めるまで水をためる段階と、働いて水を排出する段階があります。排水後に空気が入って連続した水の通り道が切れると、サイホンによる流出が止まり、再び水がたまります。最高水位と最低水位の間を往復するため、毎回容器が空になるとは限りません。最低水位以下の水は、周期ごとの増減とは別に残っています。
水位グラフを描くと、ためる間は右上がり、排水中は右下がりになります。ただし排水中も給水を続ける設定なら、下がる速さは出口の流量だけでは決まりません。入ってくる分を引いた正味の減少量を使います。給水が止まる絵に勝手に変えないことが、この計算の最初の注意点です。
例題1 一周期の長さを求める
断面積が一定で200cm²の容器に、毎分200cm³ずつ給水します。水位が底から20cmになると自動排水が始まり、5cmになると止まります。排水中の出口の流量は毎分800cm³で一定、給水は続きます。切り替えにかかる時間や管内の水量は無視します。水位5cmで排水が止まった瞬間から、次に同じ状態になるまで何分ですか。
答え・解説： 20分です。水位差15cmに対応する体積は200×15＝3000cm³。ためる時間は3000÷200＝15分です。排水中は毎分800−200＝600cm³ずつ減るので、3000÷600＝5分。二つの時間を足して20分になります。3000÷800とすると、排水中の給水が計算から抜けます。
この一周期で出口を通る水は800×5＝4000cm³です。容器の水位が下がった分の3000cm³より多いのは、排水中にも200×5＝1000cm³が入ってきたためです。一方、給水は一周期ずっと続くので200×20＝4000cm³。周期の初めと終わりに水位が同じなら、入った量と出た量も一致します。減った在庫と出口の通過量を別に検算できます。
例題2 給水を増やすと排水時間も短くなる？
例題1から給水だけを毎分400cm³に変えます。上下の切り替え水位と、排水中の出口流量800cm³毎分は同じと指定します。ためる時間、排水する時間、一周期の長さはどうなりますか。
答え・解説： ためる時間は3000÷400＝7.5分、排水中は毎分800−400＝400cm³ずつ減るので3000÷400＝7.5分。一周期は15分です。給水を二倍にすると、ためる時間は半分になりますが、排水時間は逆に長くなります。水を足す速さが大きいほど、排水による水位低下を打ち消すからです。周期全体が半分の10分になるわけではありません。
一周期の流入は400×15＝6000cm³、流出は800×7.5＝6000cm³です。例題1と同じ上下水位を往復しても、一周期の通過量は同じとは限りません。容器内で増減する3000cm³と、一周期に供給された6000cm³を混ぜないことが大切です。
グラフの傾きには容器の太さも関係する
毎分200cm³という流量を、そのまま水位が毎分200cm上がる値として描くことはできません。断面積200cm²で割ると、例題1の上昇は毎分1cmです。排水中の正味600cm³は毎分3cmの低下に対応します。グラフでは上がる線より下がる線が急になり、15分かけて上がった高さを5分で下がります。体積の表と水位のグラフを結び付けるのは容器の断面積です。
断面積が途中で変わる容器なら、同じ流量でも水位の変化速度は途中で変わります。広い部分では上昇が遅く、狭い部分では速くなるので、今回の直線をそのまま使えません。資料に容器の形が描かれている場合は、一定断面という条件があるか確かめます。周期を区切る水位が同じでも、そこに必要な体積が違えば待ち時間も変わります。
排水のほうが遅い条件では周期が成立しない
もし給水を出口の800cm³毎分と同じにすると、排水が作動しても水位は下がらない模型になります。給水のほうが大きければ上がり続けます。したがって「給水を増やすほど何度でも速く繰り返す」とは言えません。計算式の引き算がゼロや負になる場面は、答えを無理に時間へ直す前に、想定した周期が成り立つかを問い直す場所です。
また観測を開始する水位によって、初回の待ち時間は変わります。すでに水位が途中まで上がった状態から測った時間を、そのまま一周期と呼ぶとずれます。周期は最低水位で排水停止した瞬間など、同じ状態どうしの間で測ります。開始状態、最高水位、最低水位、給水の継続という四条件をそろえると、初めて見る自動装置でも収支と時間を順序立てて読めます。