火山灰の積もった厚さを地図へ書き込むと、同じ厚さの地点を結ぶ線を描けます。厚い範囲が狭く、その外側には薄く広がる範囲があるとき、全体の体積はどう見積もるのでしょうか。面積と厚さを掛ける前に、地図の面積が「線の内側全部」なのか「二本の線の間だけ」なのかを確認する問題です。
内側を含む面積に注意
中心の範囲Aが2平方km、Aを含む外側の線までが8平方kmだとします。外側の帯だけの面積は8−2で6平方kmです。Aの2平方kmと外側の8平方kmをそのまま足すと、Aを二度数えてしまいます。これは火山灰だけでなく、等高線や降水量分布の面積を扱うときにも起こる読み違いです。
同じ厚さを結ぶ線は、その線上の値を示すもので、線の内側がすべて同じ厚さだとは限りません。体積を簡単に見積もる例題では、各帯の平均厚さを別に与えます。線の数値だけしかない場合、どの平均や近似を使うかの条件が必要です。平均値を勝手に選んで確定値のように扱わないようにします。
単位を一度mへ戻す
面積が平方km、厚さがcmなら、掛ける前に換算します。1平方kmは1000m×1000mで100万平方mです。1cmは0.01mなので、1平方kmに1cm積もると体積は1万立方mになります。「kmをmへ千倍にする」だけで面積も千倍とすると、体積の桁が大きくずれます。
厚さの測定には、降った直後か、雨で締まった後かなどの条件も関わります。粒の間のすき間が変われば、同じ物質の量でも層の厚さは変化します。ここでは地図を作った時点の積もった体積を計算し、地下のマグマの体積や固体だけの体積へ勝手に読み替えません。
例題1｜二つの帯の体積
内側Aの面積は2平方km、平均厚さは6cmです。Aを含む外側の線までの面積は8平方kmで、A以外の帯Bの平均厚さは2cmです。地図の範囲に積もった火山灰の体積を求めます。
答え・解説：24万立方mです。 Aは2×6×1万で12万立方mです。Bの面積は8−2で6平方kmなので6×2×1万で12万立方mです。合計24万立方mになります。Bへ8平方kmを使うと、内側を外側の厚さでもう一度加えてしまい、28万立方mという過大な値になります。
例題2｜平均厚さに幅がある
帯Bの平均厚さは、測定点が少ないため1.5cm以上2.5cm以下としか分かりません。Aの体積は例題1と同じ12万立方mです。全体の体積はどの範囲にありますか。
答え・解説：21万〜27万立方mです。 Bの下限は6×1.5×1万で9万、上限は6×2.5×1万で15万です。それぞれへAの12万を加えます。平均厚さを2cmと置いた24万は範囲の中央ですが、測定で正確に24万と決まったわけではありません。計算の細かさと資料の不確かさを区別します。
地図の外にも灰があるかもしれない
最も外側の線より先で薄く積もっている場合、地図に示した範囲の合計は噴火全体の堆積体積と一致しません。海上など測れない場所へ降った分もあり得ます。設問が「図の範囲内」を聞くのか、「全体」を推定するのかを読み分けます。見えている範囲を全部と決めないことが大切です。
風によって分布が一方向へ長く伸びる場合には、火口から同じ距離でも厚さが違うことがあります。円形に広がると指定されていなければ、半径から円の面積を勝手に計算しないようにします。地図の縮尺や面積表が与えられた意味を考え、資料の形に沿って面積を扱います。
体積から重さを求めるなら別の情報
灰の重さを知りたい場合は、対応するかさ密度などが必要です。乾いた灰と水を含む灰では、同じ体積でも重さは違います。体積24万立方mという答えに水の密度を掛けて、灰の重さにしてはいけません。何が詰まった体積かを確認します。
解答用の表は、領域名・重複を除いた面積・平均厚さ・体積の四列にします。面積の列の合計が外側全体8平方kmになるかを確かめてから、厚さを掛けると二重計上を防げます。火山の知識が題材でも、中心にあるのは地図の読み分けと、面積に厚さを重ねる量の考え方です。
内包面積を三段へ増やすなら
さらに外側の線までの面積が20平方kmと与えられたら、新しい外帯の面積は20−8で12平方kmです。中心の2をもう一度引く必要はありません。8の中にすでに中心2が含まれているからです。内包面積2、8、20から帯面積2、6、12へ変えると、合計20に戻ります。この検算を厚さの計算より先に行うと、領域の重複を整理できます。
各帯の平均厚さがすべて同じなら、帯ごとに計算した体積の和は、外側全体の面積にその厚さを掛けた値と一致するはずです。わざと同じ厚さを仮に入れてみるのは、面積を重複させていないかの点検になります。実際の厚さが異なるときには、もちろん帯ごとの重みを戻して計算します。
風で再び運ばれた灰や、雨で流された灰が含まれる後日の地図は、降下直後の分布と違う場合があります。測定日が違う厚さを一枚の地図へまとめるなら、その影響を確認します。火山灰が目印になる地層の問題と同様、同じ噴火に由来することだけで、堆積後の変化まで全く同じだとは言えません。