中学受験理科｜粒が沈む速さと大きさ｜直径が2倍なら時間は半分？

水の中で大きい粒ほど速く沈むとして、直径が二倍なら沈む速さも二倍でしょうか。「大きいほど速い」という言葉だけでは、何倍になるかは決まりません。中学入試の資料で比例の規則が与えられたら、どの量に比例するのかを読み取る必要があります。

ここでは、小さな球形粒子が静かな液体の中を沈む単純な模型を使います。粒の材質、水温などが同じで、適用範囲内では、一定になった沈降速度が直径の二乗に比例するとします。二乗は「同じ数を二回掛ける」という意味です。式の暗記ではなく、資料の条件として考えます。

落ち始めから、ずっと同じ速さとは限らない

粒を水中へ入れた直後と、一定の速さになった後は区別します。今回使うのは、重力から浮力を引いた下向きの作用と、水から受ける抵抗がつり合った後の速さです。落とした瞬間から同じ速さで動くと決めるわけではありません。

また、水自体が流れたり、粒同士が集まって塊になったりすれば、別の条件になります。自然の砂粒は完全な球ではなく、材質も混じります。与えた規則が使える模型と、川の実際の堆積を、そのまま同一視しないでください。

例題1。同じ深さを沈む時間を比較しています。直径二乗の規則を使える小粒子の条件に限定します。

基準粒子の直径を1とすると、直径2の粒子の速さは2×2＝4倍です。直径3なら3×3＝9倍、直径が半分なら半分×半分＝4分の1です。直径と速さの比を一列の表へ書くと、一次の比例との違いが見えてきます。

ここで体積の比8倍や27倍をそのまま速さへ使うのも違います。球の体積は直径の三乗に比例しますが、沈む速さは重さだけでなく浮力と抵抗の関係から決まります。問題で与えられた二乗の規則を、別の量の規則へ置き換えないことが大切です。

直径10μmの粒子Aは、一定になった後、毎秒0.05mmで沈むとします。同じ材質の直径20μmの粒子Bについて、上の二乗の規則が使えます。両方とも一定速度の状態から、同じ100mmの距離を沈む時間を求めなさい。1μmは1mmの1000分の1です。

答え・解説： Bの直径はAの二倍なので、速さは四倍。0.05×4＝0.20mm/秒です。Aの時間は100÷0.05＝2000秒、Bは100÷0.20＝500秒です。同じ距離では、速さ四倍なら時間は4分の1になります。

直径二倍だから時間半分、と一段で考えないようにします。直径から速さへ、速さから時間へと二段階に分けます。時間を分に直すならAは33分20秒、Bは8分20秒です。小数の分を、そのまま秒の表示へ写さないことにも注意します。

沈み方の図では、最初の位置が重要です。全粒子を水面付近の同じ高さから沈めた場合と、水の中全体へ均一に散らした場合では、同じ時刻の分布が違います。前者なら、速さ×時間からそれぞれの先頭位置を直接描けます。

後者では、初めから底近くにいた小粒子が、上から来た大粒子より早く底へ着くこともあります。「大きい粒が必ずすべて先着する」とは言えません。問題が比較しているのは速さか、到着順か、出発条件も含めて確認します。

例題1と同じ材質・水温の粒子Cが、一定速度で100mmを125秒で沈みました。同じ規則が適用できるとして、Cの直径を求めなさい。

答え・解説： Cの速さは100÷125＝0.8mm/秒です。Aの0.05mm/秒の16倍です。直径の比を同じ数どうしで掛けると16になるので、直径は4倍。10×4＝40μmです。16倍をそのまま直径へ掛けて160μmとしないようにします。

小学生なら「4×4＝16」を使えばよく、平方根の記号を覚える必要はありません。速さの比がきれいな平方数になるように作った例題です。どんな測定値からでも整数の直径比が出るわけではない点は、実測の資料と区別します。

同じ直径でも、水の粘りや粒と液の密度差が変わると沈降速度は変わります。今回の比の計算では、それらをそろえたため直径だけを比較できました。水と油で同じ速さの粒を見つけても、同じ直径だとすぐには言えません。

粒が大きくなって水の流れ方が変わると、二乗の関係をそのまま使えない場合もあります。直径を十倍、百倍へ広げて予測するときには、問題の適用範囲を確認します。条件を限定した法則を、すべての粒に通用する経験則として覚えないようにしましょう。

沈降の模型は、粒の大きさで分ける測定や、静かな水中で粒が落ち着く現象を考える助けになります。ただし地層の粒の順序には、水流の変化や粒の供給も関係します。一枚の地層から沈降速度の数値まで決めるには、さらに情報が要ります。

図へは、直径、沈む速さ、距離、時間をそれぞれ単位付きで書きます。「大きい」「速い」「早い」は似た言葉ですが、指す量が違います。二乗の規則を一度表にし、その後で距離÷速さを使う。この順序を守れば、見慣れない沈降の問題も整理できます。