泥の層が押されて薄くなりました。厚さが減った分だけ、泥の粒が小さくつぶれたのでしょうか。水を含む堆積物では、粒の間のすき間が減り、水が外へ出ることで全体の体積が小さくなる場合があります。
今回は固体の粒そのものの体積が変わらず、層の面積も一定という条件で、圧密後の厚さを計算します。中学入試の地層や地盤沈下の資料問題では、全体とすき間の割合を分けることが重要です。何が保存されるかを先に決めると、割合の計算が整理できます。
全体を粒とすき間に分ける
体積100cm³の試料で、すき間が40％なら、すき間40cm³、固体60cm³です。水で満たされていれば、その40cm³が水の占める空間です。水が抜けてすき間が縮むと、全体の体積は変わりますが、今回のモデルでは固体60cm³は残ります。
すき間の割合は、すき間の体積を全体の体積で割った値です。粒の体積で割る別の指標もあるため、問題の定義を必ず確認します。40％から25％へ下がったとき、同じ100cm³を基準に15cm³だけ減った、とすることはできません。
変化後の全体を逆算する
固体60cm³を保存し、変化後のすき間が25％なら、固体は全体の75％です。新しい全体は60÷0.75＝80cm³となります。すき間は80－60＝20cm³です。元の40cm³から20cm³減ったことになります。
割合の差15ポイントと、すき間体積の差20cm³は別です。分母の全体が100から80へ変わったためです。変化前後を二本の棒で描き、固体部分の長さを同じにすると、どの量を固定するか見えやすくなります。
例題1：体積と出た水の量
水で満たされた試料の全体体積は100cm³、すき間の割合は40％です。圧密後のすき間は全体の25％になりました。固体の体積は不変、水以外の出入りや新たな空気の流入はないとします。変化後の体積と、外へ出た水の体積を求めましょう。
答え・解説： 固体は100×0.60＝60cm³です。新しい全体は60÷0.75＝80cm³なので、全体が20cm³減ります。すき間も40cm³から20cm³へ減るため、水は20cm³出ました。水で満たされたままという条件が、この対応を支えています。
乾燥で空気が入る問題なら、水が出た体積と試料全体の縮みが同じとは限りません。今回はすき間が常に水で満たされる条件です。操作の違う二つの実験を、同じ図のまま扱わないようにしましょう。
例題2：層の厚さは何mになるか
面積が変わらない泥の層で、初めの厚さは10m、すき間の割合は40％でした。固体が失われず、すき間の割合が25％まで下がるとします。層の厚さと、厚さの減少量を求めましょう。
答え・解説： 同じ面積で考えると、固体に相当する厚さは10×0.60＝6mです。変化後の厚さは6÷0.75＝8m、減少は2mです。体積の比100対80が、面積一定のため厚さの比にもなると説明できます。
すき間割合が15ポイント減ったので厚さも15％減る、として8.5mにするのは誤りです。全体が変わる割合の問題では、残る固体部分を介して計算するのが確実です。
沈下量の意味を広げすぎない
この2mは、模型で考えた泥の層の厚さの変化です。地表が実際にどれだけ下がるかを求めるには、層の位置や他の層、周りの動きなども必要です。一つの試料の割合を、広い地域の将来の沈下へそのまま置き換えることはできません。
また、水を抜けばすぐに全ての圧密が終わるとも限りません。水の通りやすさや排水までの距離などが進み方に関係します。本稿の例題は前後の状態を比べており、何日かかるかは与えていません。量の計算から時間まで想像で補わないようにします。
すき間が小さくなることと、粒が溶けて失われることも別です。化学的な変化や粒の破砕が加われば、固体体積不変の仮定を見直す必要があります。資料の「固体の体積は変わらない」という一文を、式の出発点として大切にしましょう。
答案には、初めの固体割合60％、後の固体割合75％という二つを書きます。すき間の数字だけを追うより、変わらない固体を中心に据えることで、地層の収縮を割合の保存問題として説明できます。
横へ広がる模型との違い
粘土を机の上で押しつぶす実験では、厚さが減っても横へ広がり、全体の体積がほとんど変わらない場合があります。それを今回の排水による圧密と同じ計算にはできません。厚さの減少だけから、すき間の水が何cm³抜けたか決められないためです。
図に「面積一定」とあれば、横方向の広がりを除いた模型だと読めます。その条件がない試料では、変形後の幅や奥行きも必要です。厚さの一本の数字から体積を想像するのではなく、どの寸法を固定したかを先に囲みましょう。保存する固体体積と、固定する層の面積は、別々の条件として効いています。