地図で川を見たとき、大きく曲がっているように見える区間と、小さく何度も曲がる区間では、どちらの蛇行が大きいのでしょうか。見た印象だけでは比べにくいので、川に沿った距離を、同じ両端を結ぶ基準の距離で割って考えることがあります。
この記事では、川の中心をたどった長さを流路長とし、選んだ上流端と下流端を直線で結ぶ距離を基準にします。専門的な資料では谷の中心線の長さを基準にする定義もあるので、式の分母は必ず問題文で確認してください。ここでの比較は、両端も縮尺も同じ地図上の模型です。
川沿いの長さと直線の長さを分ける
上流の地点Aから下流の地点Bまで、川の中心をたどると12キロメートル、AとBを直線で結ぶと8キロメートルだったとします。このとき、流路長と基準距離の比は12÷8＝1.5です。川沿いの道のりが直線距離の1.5倍あることを表します。
この1.5にはキロメートルをつけません。同じ単位の距離どうしを割った比だからです。一方を地図のセンチメートル、もう一方を実際のキロメートルのまま割ることはできません。同じ縮尺の地図なら両方をセンチメートルで測ってから比を求めても、実際の距離から計算した値と一致します。
比べる両端を動かすと、意味も変わる
曲がった部分だけを切り取って測った川と、直線的な部分を長く含めて測った川では、同じ川でも比が違ってきます。前後の変化を比べるなら、原則として同じ二地点を使います。途中の区間を勝手に広げたり狭めたりして得た比を、そのまま増減として扱わないでください。
また、曲がる回数だけでは流路長は決まりません。一回でも大きく回り込めば長くなり、小さな曲がりが何回あっても延長が小さい場合があります。図の曲線の細かな形から、与えられていない長さを目分量で確定させるのも避けましょう。例題では地図に記された実測の長さを使います。
例題1｜曲がり方の比を計算する
同じ二地点の間で、川の中心線に沿った距離は12キロメートル、両端の直線距離は8キロメートルです。流路長を直線距離で割った比を求め、意味を説明しなさい。
答え・解説：12÷8＝1.5です。川に沿って進む距離は、両端を直線で結んだ距離の1.5倍です。比に距離の単位はつけません。また「川が1.5キロメートル曲がっている」という説明にはなりません。直線より長くなった部分そのものを問われれば、12－8＝4キロメートルと別に計算します。
例題2｜流路が短くなった場合
例題1の二地点の間で、曲がった部分が短絡され、流路長が9キロメートルになりました。両端の直線距離は8キロメートルのままです。新しい比と流路長の減少率を求めなさい。さらに、一定の速さ毎時3キロメートルで流路に沿って進む模型なら、所要時間は何時間短くなりますか。
答え・解説：新しい比は9÷8＝1.125です。流路長は3キロメートル減ったので、もとの12を基準にすると3÷12×100＝25％減です。一定速度という設定では、以前は12÷3＝4時間、以後は9÷3＝3時間で、1時間短くなります。25％を求める分母は短絡後の9ではなく、変化前の12です。
川の水の速さまで比だけで決めない
例題2で所要時間を求められたのは、速度を一定とする条件を置いたからです。実際の川では、流路の長さが変われば勾配や流れ方も変わる場合があります。水深、川幅、河床の状態なども関係するため、比が小さいから必ず毎時何キロメートル速いと断定することはできません。
同じ高低差なら、短い流路の方が平均の傾きは大きくなります。しかし、傾きと流速を同じ数として扱うこともできません。地形から分かる量と、流れを測らなければ分からない量を分けることが、説明問題では重要です。
地図の細かさにも注意する
細かい曲がりまでたどった長さと、粗い地図で直線に近く描かれた長さでは、計測値が違うことがあります。異なる地図を比べるときは、縮尺だけでなく、どこまで曲がりを拾ったかもそろえる必要があります。入試の資料では、図が模式図なのか、距離が数値として与えられているのかを先に見ます。
川の問題では、侵食と堆積の知識に加えて、地図を数に直す読み方も問われます。まず二地点を固定し、次に川沿いと基準線を別の色でたどる。最後に同じ単位で割る。この順序を守れば、複雑な川の形でも計算の見通しが立ちます。
比が1より小さくなったら図を見直す
同じ二地点を結ぶ平面上の道のりは、直線より短くなりません。したがって今回の定義で比が1未満になったなら、分子と分母を逆にした、単位が違う、別の二地点を測った、といった可能性を調べます。答えの桁を確認するだけでなく、図形としてありえる値かを確かめる検算です。
短絡後の比1.125は「12.5％減った」という意味ではありません。直線距離に比べて12.5％長いという意味です。変化前からの減少率25％とは基準が違います。同じ図に百分率が二つ出てきたときは、基準を直線8にしたのか、以前の流路12にしたのかを式の下へ書くと混乱しません。
地図の縮尺を半分に縮めて印刷しても、川沿いの測定値と直線の測定値は両方とも半分になります。そのため比自体は変わりません。ただし細かな曲がりを省略して描き直した地図は、単なる縮小とは別です。倍率だけの変化と、形の情報を省く変化を分けて扱います。