中学受験理科｜エレベーターの体重計｜動く向きより速さの変わり方

エレベーターで体が重く感じる瞬間があります。上へ動くと重く、下へ動くと軽くなる、と覚えてしまっていませんか。下へ進んでいても、止まる直前には体重計の表示が大きくなる場合があります。注目したいのは進む向きだけではなく、速さがどう変わっているかです。

ここでは体重計が足を上へ押す力を表示する模型を使います。人の質量そのものが増減する話ではありません。中学入試の発展資料として、力と運動の関係は文中で与え、上向き・下向きの二本の矢印で整理します。

表示は床から受ける力

静止した人には、下向きの重力と、体重計から受ける上向きの力が働きます。この二つがつり合えば、人はその場に止まったままでいられます。エレベーターが一定の速さで進む場合も、速さや方向が変わらない直線運動なら、この模型では力がつり合います。

体重計は、地球が人を引く力を直接別の場所から測っているわけではありません。足で押されたときのばねやセンサーの変形を利用して、支えている力を表示します。普段はその力をkgに換算するため、表示を見て質量が変化したように感じやすいのです。

本稿は換算の混乱を避け、表示の単位をNとします。Nは力の単位です。例題では重力が400Nと与えられた人を使いますが、この数字だけから日常の体重計のkg表示を答える必要はありません。

例題1。表示は支える力。矢印の長さは力の比例尺ではありません。

上向きに動きながら速くなるとき、人の動きを上へ変える合力が必要です。体重計の上向きの力が重力より大きくなります。一方、下向きに動きながら遅くなるときも、動きの変化は上向きです。下へ進む勢いを弱めるため、やはり上向きの合力になります。

逆に、上向きに動いていても減速中なら合力は下向きです。上向きの速さが小さくなるからです。下降しながら加速する場合も下向きの合力です。「上へ進む」と「上へ動きが変わる」を言葉の上で分けると、四つの場面を整理できます。

重力400Nの人が下向きに進むエレベーターに乗っています。停止に向けて減速している間、上向きに80Nの合力が必要だと資料に示されました。体重計の表示はいくつですか。

答え・解説： 480Nです。体重計の上向きの力から下向き400Nを引いた結果が80Nになるので、400＋80＝480Nです。「下りだから400より小さい」として320Nにすると、合力が下向きになり、指定された減速の条件に反します。

力の矢印は速度の矢印と色や位置を分けて描きます。下へ動く矢印をそのまま力の図へ写すと、この問題では誤りになります。運動の変化に必要な力が既に資料で与えられているので、その合計を満たす支えの力を逆算します。

480Nという表示は、上昇して加速中でも起こりえます。同じ力の図に、異なる進行方向が対応するわけです。体重計の値を一度見ただけで「今は上りだ」と断定することはできません。時刻ごとの位置や速度の情報が別に必要です。

また、一定の速さで上がる区間と、止まっている区間は、どちらも400Nという同じ表示になりえます。力のつり合いは「絶対に動いていない」の証拠ではなく、「この模型で運動が変わらない」ことにつながります。

同じ人が、上向きに加速、一定の速さで上昇、上向きに減速、の順に動きます。最初は上向き60N、最後は下向き40Nの合力が必要です。三つの区間の表示を順番に求めましょう。

答え・解説： 460N、400N、360Nです。最初は400＋60、一定速度では400、最後は400−40です。全区間で人は上へ進んでいますが、表示は大きい・同じ・小さいに変化します。上昇という一語だけでは表示を一つに選べません。

理想的な自由落下で人と床が一緒に落ち、床が人を支えなければ、体重計の表示はゼロになります。このときも重力が消えたわけではありません。支えの力がなくなることと、地球に引かれなくなることを混ぜないようにします。

実際のエレベーターで落下を試す内容ではありません。問題の図上で二本の力を比べるための模型です。日常の違和感を、方向の矢印と差の計算へつなぐと、力の問題は暗記する四つの答えから、理由を再現できる四つの場面へ変わります。

体重計の表示が揺れている移行中と、一定の表示で落ち着いた区間も区別します。出発直後の最大値だけを、上昇中ずっと続く値として表へ写さないようにします。時間のグラフには加速・一定速度・減速の区切りを入れると、表示が変わる理由を各区間へ対応させられます。