ある海岸で砂が減り、隣の海岸で砂が増えているとします。この二つをまとめた地域全体でも砂が減ったのでしょうか。答えるには、海岸の間で移った分と、地域の外から入ったり外へ出たりした分を区別する必要があります。
砂の収支は、最初の量に流入を足し、流出を引いて考えます。ただし、どこまでを一つの範囲にするかによって、同じ移動が「出入り」になったり「範囲内の移動」になったりします。この記事では体積をそろえた架空の記録を使い、隣接する二つの海岸の計算を練習します。
まず囲む範囲を図に描く
海岸Aと海岸Bが並んでいて、AからBへ砂が100立方メートル移ったとします。Aだけを囲めば100は流出、Bだけを囲めば100は流入です。ところがAとBを一つの大きな囲みで見ると、100は囲みの中を移動しただけです。地域全体の量を100増やしたり減らしたりしません。
式だけで追うと、同じ100を二つの別の出来事と誤解しやすくなります。図ではAからBへ一本の矢印を描き、その矢印をAの出口とBの入口で共有させます。二本の無関係な矢印として足すのでなく、一つの移動の両側を記録していると考えてください。
海岸Aの量を求める
Aには最初1000立方メートルの砂があります。期間中、区域の上流側から120、河川から30が入り、隣のBへ100、沖の区域外へ80が出たとします。Aの変化は120＋30－100－80＝－30立方メートルです。したがって最後の量は970立方メートルになります。
ここで「入った量150」と「減った量30」を混同しないようにしましょう。流入があっても、それ以上に流出すれば総量は減ります。また、沖へ出た80は、この問題で囲った海岸の外へ出た量です。海から消えてなくなったという意味ではなく、調べる範囲を出たという意味です。
海岸Bを加えると内部の移動が消える
Bの最初の量は800立方メートルです。Aから100、その他の区域外から20が入り、下流側の区域外へ80、沖へ10が出たとします。変化は100＋20－80－10＝30で、最後は830立方メートルです。Aの減少30とBの増加30を合わせると、二つの海岸の合計は変わりません。
合計の式を書けば、A側の「－100」とB側の「＋100」が打ち消し合います。外から入った量だけなら120＋30＋20＝170、外へ出た量は80＋80＋10＝170です。この計算でも、地域全体の増減が0と確かめられます。
例題1｜一方が減っても全体は減るとは限らない
Aは最初1000立方メートル、外からの流入150、Bへの移動100、沖への流出80でした。Bは最初800立方メートル、Aからの流入100、その他の流入20、区域外への流出合計90でした。A、Bそれぞれの最後の量と、合計の変化を求めなさい。
答え・解説：Aは1000＋150－100－80＝970立方メートルです。Bは800＋100＋20－90＝830立方メートルです。合計は1800立方メートルで、最初の1000＋800＝1800と同じです。Aでは30減っていますが、地域全体も30減ったという結論にはなりません。
例題2｜外から砂を追加した場合
例題1の期間が終わった後、地域外からAへ砂50立方メートルを運び入れました。その後は流入も流出もないとします。AとBの合計は何立方メートルですか。もし同じ50をBからAへ移しただけなら、合計はどうなりますか。
答え・解説：外から追加した場合は1800＋50＝1850立方メートルです。一方、BからAへ移すだけなら、Aが50増え、Bが50減るので合計は1800立方メートルのままです。移動先だけでなく、移動元が囲みの内側か外側かを確認することが、二つの場合を分けます。
同じ単位と同じ期間でそろえる
現実の砂は、すき間の多さや締まり方によって同じ質量でも見かけの体積が変わります。この記事では比較できる同じ基準の体積が与えられているとします。質量と体積、乾いた砂と水を含む砂の数値を、変換条件なしに足し合わせないでください。
さらに、流入が一日分なのに流出が一か月分なら、同じ式には入れられません。すべてが同じ観察期間の記録かを確認します。海岸線の位置だけで砂の体積を確定することもできず、幅や高さを含めた情報が必要です。
このような問題では、計算前の囲みが答えを左右します。小さな範囲での減少と、大きな範囲全体の減少を区別する習慣をつけましょう。砂だけでなく、水や物質が区域間を動く資料にも通じる見方です。
差だけでなく通過量を見る意味
合計の増減が0でも、砂が全く動かなかったわけではありません。例題では地域外から170が入り、同量が出ています。入る量も出る量も0の海岸と、活発に出入りする海岸は、同じ最終量になりえます。最後の体積だけで移動の有無を判断しないことが大切です。
図を使った説明では、外枠を横切る矢印にだけ印をつけ、内側の矢印を別にします。その後で外向きと内向きを集計すれば、隣へ渡した量を余分に減らす誤りを防げます。この方法は二つの区域より多い場合にも使えますが、すべての外枠の出入りが記録されていることが前提です。測っていない流出を勝手に0として帳尻を合わせないようにしてください。