月が地球の本影に入り始める時刻と、月全体が本影に入る時刻は違います。月は点ではなく大きさのある円なので、先端が影に入ってから最後尾が入るまでにも時間がかかるからです。月食の時間を考える問題では、月の中心だけでなく、進む側の端と反対側の端を描くことが役立ちます。
この記事では、月が円形の本影の中心を、一定の相対速度でまっすぐ通過する模型を扱います。実際の月食の時刻を予報する記事ではありません。問題として指定された大きさと速さを使い、長さの和と差のどちらが必要かを図から考える、中学入試向けの例題です。
四つの接触を、同じ方向へ並べる
最初は月の先端が本影の入り口へ触れます。次に最後尾まで影へ入ると皆既が始まります。その後、月の先端が反対側の境界へ達すると皆既が終わり、最後尾が影を抜けると部分食が終わります。月全体が入っている時間と、月の一部でも影にかかる時間は別です。
ここでは本影だけを数えます。本影の外側にある半影へ月が入る時間まで含めると、始まりと終わりの位置が変わります。資料の「半影食」「部分食」「皆既食」という言葉を省かず、どの二つの時刻の差を取るのかを明確にしてください。
例題1｜長さの和で求める時間と、差で求める時間
月の直径を3000km、月の位置での本影の直径を9000kmとする模型があります。月は本影に対して毎分50kmで動き、本影の中心を通ります。部分食の始まりから終わりまでと、皆既の始まりから終わりまでの時間を求めてください。
答え・解説： 月の先端が影に入ってから最後尾が影を抜けるには、月の中心が本影の直径と月の直径を足した12000km進みます。時間は12000÷50＝240分です。一方、月全体が影の中にある間の中心の移動距離は、9000−3000＝6000km。皆既は6000÷50＝120分続きます。
月が入り始めてから全部入るまでの時間は、月一個分の直径3000kmを進む時間で60分です。出る側にも同じ60分があるので、60＋120＋60＝240分で確かめられます。本影の直径9000kmだけを速さで割ると180分になり、今回尋ねた二つの時間のどちらにもなりません。
例題2｜二つの時間から大きさを逆算する
同じ中心通過の模型で、部分食の始まりから終わりまでが180分、皆既が60分でした。月の本影に対する速さは毎分40kmです。月の直径と本影の直径を求めてください。
答え・解説： 全体の180分に対応する長さの和は40×180＝7200km、皆既60分に対応する長さの差は40×60＝2400kmです。和と差を足した9600kmは本影の直径二個分なので、本影は4800km。残り7200−4800＝2400kmが月の直径です。
時間で考えても、180−60＝120分は、入り切るまでと出切るまでの二回分です。一回は60分だから、月の直径は40×60＝2400kmとなります。120分をそのまま掛けると、月の直径を二倍に数えてしまいます。
月の中心の位置を追うと、和と差が見える
影の入り口を0km、出口を9000kmとした例題1を考えます。月の半径は1500kmです。最初の接触では月の中心は−1500km、最後の接触では10500kmなので、移動距離は12000kmになります。全体が入るときの中心は1500km、出始めるときは7500kmなので、その差が6000kmです。
負の位置が扱いにくければ、影の左側に月を一個描き、その左端を新しい基準にしても構いません。原点の場所を変えても、同じ二つの位置の差は変わりません。図へ線分を写すときに、月の先端の位置と中心の位置を混ぜないことが重要です。
中心を外れる通り道には、そのまま使わない
月が本影の中心を外れて通る場合、影の中でたどる距離が変わります。単純に本影の直径と月の直径の和・差だけを使う式は、今回の条件では使えても、すべての月食へ適用できるものではありません。端をかすめる部分月食では、皆既そのものが起こらない場合もあります。
また、使った速さは地上の空で見える月の動きではなく、本影に対する月の動きです。地球の自転による東から西への日周運動と入れ替えないようにします。移動する円の大きさ、通り道、相手に対する速さ。この三つをそろえてから時間を求めれば、算数の通過算ともつながる形で図を理解できます。
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